Ejercicio resuelto de Diagramas de Venn · Matemáticas CCSS · 2025

PROBLEMA 4
En caso de elegir este problema hay que responder a uno de estos dos apartados: APARTADO 4.1 o APARTADO 4.2
APARTADO 4.2 [2,5 puntos]
Iker dispone de dos días para preparar un examen. La probabilidad de estudiar solamente el primer día es del 10 %, la de estudiar los dos días es del 10 % y la de no hacerlo ningún día es del 25 %.
Calcular la probabilidad de que Iker estudie para el examen en cada uno de los siguientes casos:

a) [0,75 puntos] El segundo día.
b) [1 punto] Solamente el segundo día.
c) [0,75 puntos] El segundo día sabiendo que no ha estudiado el primero.

Se llama $A$ al suceso «Iker estudia el primer día» y $B$ al suceso «Iker estudia el segundo día». Los tres datos del enunciado son tres de las cuatro zonas en que estos dos sucesos parten el espacio muestral.

$P(A\cap \bar{B})=\mathrm{0,10},P(A\cap B)=\mathrm{0,10},P(\bar{A}\cap \bar{B})=\mathrm{0,25}$

Las cuatro zonas son incompatibles dos a dos y entre todas cubren el espacio muestral, así que la que falta se obtiene por diferencia.

$P(\bar{A}\cap B)=1-\mathrm{0,10}-\mathrm{0,10}-\mathrm{0,25}=\mathrm{0,55}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{segundo}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a.}}$

El suceso «estudia el segundo día» se descompone en dos partes disjuntas: estudiar los dos días o estudiar solamente el segundo.

$P(B)=P(A\cap B)+P(\bar{A}\cap B)=\mathrm{0,10}+\mathrm{0,55}=\mathrm{0,65}$

La probabilidad de que Iker estudie el segundo día es $\mathrm{0,65}$, es decir, un $65\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}\mathbf{\text{Solamente}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{segundo}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a.}}$

«Solamente el segundo día» significa que estudia el segundo y no estudia el primero, que es justo la zona calculada al principio.

$P(\bar{A}\cap B)=\mathrm{0,55}$

La probabilidad de que Iker estudie solamente el segundo día es $\mathrm{0,55}$, es decir, un $55\mathrm{\%}$.



$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{segundo}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{sabiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{estudiado}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{primero.}}$

Se trata de una probabilidad condicionada, y para calcularla hace falta la probabilidad de no estudiar el primer día.

$P(A)=P(A\cap \bar{B})+P(A\cap B)=\mathrm{0,10}+\mathrm{0,10}=\mathrm{0,20}$

$P(\bar{A})=1-P(A)=1-\mathrm{0,20}=\mathrm{0,80}$

$P(B\mid \bar{A})={\displaystyle \frac{P(B\cap \bar{A})}{P(\bar{A})}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,55}}{\mathrm{0,80}}}=\mathrm{0,6875}$

Sabiendo que no ha estudiado el primer día, la probabilidad de que Iker estudie el segundo es $\mathrm{0,6875}$, es decir, un $\mathrm{68,75}\mathrm{\%}$.