Ejercicio resuelto de Diagramas de Venn · Matemáticas CCSS · 2022

En su tiempo libre, el 65 % de los estudiantes de un centro educativo juega con videojuegos, el 45 % lee libros y el 15 % no hace ninguna de las dos cosas.

Elegido al azar un estudiante de dicho centro, calcule la probabilidad de que:

a) Juegue con videojuegos o lea libros. (1 punto)

b) Juegue con videojuegos y no lea libros. (0,75 puntos)

c) Lea libros sabiendo que no juega con videojuegos. (0,75 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Juegue}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{videojuegos}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{lea}}\mathbf{\text{libros.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Nombramos los sucesos:

$V\equiv$ el estudiante juega con videojuegos,
$L\equiv$ el estudiante lee libros.

Del enunciado, $P(V)=\mathrm{0,65}$, $P(L)=\mathrm{0,45}$ y $P(\bar{V}\cap \bar{L})=\mathrm{0,15}$.

Jugar con videojuegos o leer libros es el suceso $V\cup L$, cuyo contrario es no hacer ninguna de las dos cosas.

$P(V\cup L)=1-P(\bar{V}\cap \bar{L})=1-\mathrm{0,15}=\mathrm{0,85}$

La probabilidad de que juegue con videojuegos o lea libros es $\mathrm{0,85}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Juegue}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{videojuegos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{lea}}\mathbf{\text{libros.}}\mathbf{\text{(0,75}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Necesitamos primero la probabilidad de la intersección, que se despeja de la fórmula de la unión.

$P(V\cup L)=P(V)+P(L)-P(V\cap L)\Rightarrow \mathrm{0,85}=\mathrm{0,65}+\mathrm{0,45}-P(V\cap L)$

$P(V\cap L)=\mathrm{1,10}-\mathrm{0,85}=\mathrm{0,25}$

Con eso queda repartido todo el espacio muestral en cuatro zonas.



Jugar con videojuegos y no leer libros es la parte de $V$ que queda fuera de $L$.

$P(V\cap \bar{L})=P(V)-P(V\cap L)=\mathrm{0,65}-\mathrm{0,25}=\mathrm{0,40}$

La probabilidad de que juegue con videojuegos y no lea libros es $\mathrm{0,40}$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Lea}}\mathbf{\text{libros}}\mathbf{\text{sabiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{juega}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{videojuegos.}}\mathbf{\text{(0,75}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Es una probabilidad condicionada.

$P(L\cap \bar{V})=P(L)-P(V\cap L)=\mathrm{0,45}-\mathrm{0,25}=\mathrm{0,20}$

$P(L\mathrm{/}\bar{V})={\displaystyle \frac{P(L\cap \bar{V})}{P(\bar{V})}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,20}}{1-\mathrm{0,65}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,20}}{\mathrm{0,35}}}={\displaystyle \frac{4}{7}}\approx \mathrm{0,5714}$

Sabiendo que no juega con videojuegos, la probabilidad de que lea libros es ${\displaystyle \frac{4}{7}}\approx \mathrm{0,5714}$.