Ejercicio resuelto de Diagramas de Venn · Matemáticas CCSS · 2020

A 120 estudiantes se les ha recomendado la lectura de dos libros. Se sabe que 46 de ellos han leído el primer libro recomendado, 34 el segundo y 16 estudiantes han leído ambos libros. Se elige un estudiante al azar.

a) Calcule la probabilidad de que haya leído alguno de los dos libros. (0,6 puntos)

b) Calcule la probabilidad de que no haya leído ninguno de los dos libros. (0,6 puntos)

c) Calcule la probabilidad de que solamente haya leído el primer libro. (0,6 puntos)

d) Calcule la probabilidad de que haya leído el primer libro, si se sabe que no ha leído el segundo. (0,7 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{le}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{do}}\mathbf{\text{alguno}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{libros.}}\mathbf{\text{(0,6}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Nombramos los sucesos:

$A\equiv$ el estudiante ha leído el primer libro,
$B\equiv$ el estudiante ha leído el segundo libro.

De los 120 estudiantes, 46 han leído el primero, 34 el segundo y 16 los dos, así que solo el primero lo han leído $46-16=30$, solo el segundo $34-16=18$, y ninguno $120-30-16-18=56$.



Aplicamos la regla de Laplace y la fórmula de la probabilidad de la unión.

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)={\displaystyle \frac{46}{120}}+{\displaystyle \frac{34}{120}}-{\displaystyle \frac{16}{120}}={\displaystyle \frac{64}{120}}={\displaystyle \frac{8}{15}}\approx \mathrm{0,5333}$

La probabilidad de que haya leído alguno de los dos libros es ${\displaystyle \frac{8}{15}}\approx \mathrm{0,5333}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{le}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{do}}\mathbf{\text{ninguno}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{libros.}}\mathbf{\text{(0,6}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Es el suceso contrario del anterior.

$P(\bar{A}\cap \bar{B})=1-P(A\cup B)=1-{\displaystyle \frac{8}{15}}={\displaystyle \frac{7}{15}}\approx \mathrm{0,4667}$

La probabilidad de que no haya leído ninguno de los dos libros es ${\displaystyle \frac{7}{15}}\approx \mathrm{0,4667}$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{solamente}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{le}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{do}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{primer}}\mathbf{\text{libro.}}\mathbf{\text{(0,6}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Es la parte de $A$ que queda fuera de $B$.

$P(A\cap \bar{B})=P(A)-P(A\cap B)={\displaystyle \frac{46}{120}}-{\displaystyle \frac{16}{120}}={\displaystyle \frac{30}{120}}={\displaystyle \frac{1}{4}}=\mathrm{0,25}$

La probabilidad de que solamente haya leído el primer libro es $\mathrm{0,25}$.

$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{le}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{do}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{primer}}\mathbf{\text{libro,}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{sabe}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{le}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{do}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{segundo.}}\mathbf{\text{(0,7}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Es una probabilidad condicionada. El numerador es el resultado del apartado anterior.

$P(A\mathrm{/}\bar{B})={\displaystyle \frac{P(A\cap \bar{B})}{P(\bar{B})}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{30}{120}}}{{\displaystyle \frac{86}{120}}}}={\displaystyle \frac{30}{86}}={\displaystyle \frac{15}{43}}\approx \mathrm{0,3488}$

Sabiendo que no ha leído el segundo libro, la probabilidad de que haya leído el primero es ${\displaystyle \frac{15}{43}}\approx \mathrm{0,3488}$.