Ejercicio resuelto de Diagramas de Venn · Matemáticas CCSS · 2020

PREGUNTA 5. Estadística y Probabilidad.
Sean A y B dos sucesos de un experimento aleatorio tales que $P(A)=\mathrm{0,4}$ y $P(\bar{B})=\mathrm{0,7}$ y $P(\bar{B}\mid A)=\mathrm{0,75}$. Calcule las siguientes probabilidades:

a) $P(A\cap \bar{B})$;
b) $P(A\cup B)$;
c) $P(A\cap B)$;
d) ¿Son A y B sucesos independientes? Justifique la respuesta.

De los datos del enunciado se obtiene primero la probabilidad de $B$ a partir de la de su contrario.

$P(A)=\mathrm{0,4}P(\bar{B})=\mathrm{0,7}\Rightarrow P(B)=1-\mathrm{0,7}=\mathrm{0,3}$



De la definición de probabilidad condicionada se despeja la intersección.

$P(\bar{B}\mid A)={\displaystyle \frac{P(A\cap \bar{B})}{P(A)}}\Rightarrow P(A\cap \bar{B})=P(A)\cdot P(\bar{B}\mid A)$

$P(A\cap \bar{B})=\mathrm{0,4}\cdot \mathrm{0,75}=\mathrm{0,3}$



Para la unión hace falta la intersección de $A$ y $B$, que sale de repartir $A$ entre los casos en que ocurre $B$ y aquellos en que no.

$P(A\cap B)=P(A)-P(A\cap \bar{B})=\mathrm{0,4}-\mathrm{0,3}=\mathrm{0,1}$

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=\mathrm{0,4}+\mathrm{0,3}-\mathrm{0,1}=\mathrm{0,6}$



Es el valor ya calculado en el apartado anterior.

$P(A\cap B)=\mathrm{0,1}$

$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{¿Son}}\mathbf{\text{A}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{B}}\mathbf{\text{sucesos}}\mathbf{\text{independientes?}}\mathbf{\text{Justifique}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{respuesta.}}$

Dos sucesos son independientes si la probabilidad de su intersección coincide con el producto de sus probabilidades.

$P(A)\cdot P(B)=\mathrm{0,4}\cdot \mathrm{0,3}=\mathrm{0,12}$

$P(A\cap B)=\mathrm{0,1}\mathrm{\ne }\mathrm{0,12}$

Los sucesos $A$ y $B$ no son independientes.