Ejercicio resuelto de Diagramas de Venn · Matemáticas CCSS · 2020

A 3 [hasta 2,5 puntos]
En un instituto, el 90 % del alumnado matriculado ha nacido en la ciudad en la que está localizado dicho centro. El 42 % del alumnado son chicos, y el 54 % son chicas nacidas en la ciudad en la que se ubica el instituto.

a) [1 punto] Elegida una persona al azar, ¿cuál es la probabilidad de que no sea nacida en la ciudad donde se ubica el instituto?
b) [0,75 puntos] ¿Y la probabilidad de que sea chica y no haya nacido en la ciudad donde se ubica el instituto?
c) [0,75 puntos] Se ha elegido una persona al azar entre el alumnado y ha resultado ser nacida en la ciudad donde se ubica el instituto. ¿Cuál es la probabilidad de que sea chico?

Se llama $N$ al suceso «la persona elegida ha nacido en la ciudad del instituto», $H$ al suceso «es chico» y $M$ al suceso «es chica». Los tres datos del enunciado son:

$P(N)=\mathrm{0,90},P(H)=\mathrm{0,42},P(M\cap N)=\mathrm{0,54}$

$P(M)=1-P(H)=1-\mathrm{0,42}=\mathrm{0,58}$

Con esos valores se completa la tabla de contingencia, restando en cada fila y en cada columna.

$$	$N$	$\bar{N}$	$\text{Total}$ Chicos $H$	0,36	0,06	0,42 Chicas $M$	0,54	0,04	0,58 Total	0,90	0,10	1

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}\mathbf{\text{Elegida}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{persona}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{nacida}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ciudad}}\mathbf{\text{donde}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{ubica}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{instituto?}}$

Es el suceso contrario del dato que da el enunciado.

$P(\bar{N})=1-P(N)=1-\mathrm{0,90}=\mathrm{0,10}$

La probabilidad de que no haya nacido en la ciudad donde se ubica el instituto es $\mathrm{0,10}$, es decir, un $10\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{¿Y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{chica}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{nacido}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ciudad}}\mathbf{\text{donde}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{ubica}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{instituto?}}$

El conjunto de las chicas se parte en dos: las nacidas en la ciudad y las que no. Basta restar.

$P(M)=P(M\cap N)+P(M\cap \bar{N})$

$P(M\cap \bar{N})=P(M)-P(M\cap N)=\mathrm{0,58}-\mathrm{0,54}=\mathrm{0,04}$

La probabilidad de que sea chica y no haya nacido en la ciudad es $\mathrm{0,04}$, es decir, un $4\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{Se}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{elegido}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{persona}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{alumnado}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{resultado}}\mathbf{\text{ser}}\mathbf{\text{nacida}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ciudad}}\mathbf{\text{donde}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{ubica}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{instituto.}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{chico?}}$

Se pide una probabilidad condicionada, y la intersección se obtiene del mismo modo, restando dentro de la columna de los nacidos en la ciudad.

$P(H\cap N)=P(N)-P(M\cap N)=\mathrm{0,90}-\mathrm{0,54}=\mathrm{0,36}$

$P(H\mid N)={\displaystyle \frac{P(H\cap N)}{P(N)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,36}}{\mathrm{0,90}}}=\mathrm{0,4}$

Entre el alumnado nacido en la ciudad donde se ubica el instituto, la probabilidad de que la persona elegida sea chico es $\mathrm{0,4}$, es decir, un $40\mathrm{\%}$.