Ejercicio resuelto de Diagramas de Venn · Matemáticas CCSS · 2024

En un instituto el 64 % de los estudiantes aprueban Matemáticas, el 72 % aprueban Inglés y el 78 % aprueban Matemáticas o Inglés o ambas.

a) ¿Cuál es la probabilidad de suspender alguna de las dos asignaturas? (0,75 puntos)

b) ¿Son independientes los sucesos aprobar Matemáticas y aprobar Inglés? Justifica la respuesta. (0,75 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{suspender}}\mathbf{\text{alguna}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{asignaturas?}}\mathbf{\text{(0,75}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Nombramos los sucesos $M$ = aprobar Matemáticas e $I$ = aprobar Inglés. Los datos del enunciado son:

$P(M)=\mathrm{0,64},P(I)=\mathrm{0,72},P(M\cup I)=\mathrm{0,78}$

De la probabilidad de la unión despejamos la de la intersección, que es la de aprobar las dos:

$P(M\cup I)=P(M)+P(I)-P(M\cap I)$

$\mathrm{0,78}=\mathrm{0,64}+\mathrm{0,72}-P(M\cap I)\Rightarrow P(M\cap I)=\mathrm{0,58}$

Suspender alguna de las dos asignaturas es el suceso contrario de aprobar las dos:

$P(\overline{M\cap I})=1-P(M\cap I)=1-\mathrm{0,58}=\mathrm{0,42}$



La probabilidad de suspender alguna de las dos asignaturas es 0,42.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Son}}\mathbf{\text{independientes}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{sucesos}}\mathbf{\text{aprobar}}\mathbf{\text{Matem}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ticas}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{aprobar}}\mathbf{\text{Ingl}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{s?}}\mathbf{\text{Justifica}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{respuesta.}}\mathbf{\text{(0,75}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Dos sucesos son independientes cuando la probabilidad de su intersección es el producto de sus probabilidades. Comprobamos si se cumple:

$P(M)\cdot P(I)=\mathrm{0,64}\cdot \mathrm{0,72}=\mathrm{0,4608}$

$P(M\cap I)=\mathrm{0,58}\mathrm{\ne }\mathrm{0,4608}$

Los sucesos aprobar Matemáticas y aprobar Inglés no son independientes: aprobar una de las dos hace más probable aprobar la otra.