Ejercicio resuelto de Diagramas de Venn · Matemáticas CCSS · 2023

Dados dos sucesos $A$ y $B$ de un experimento aleatorio, se sabe que $P(A)=\mathrm{0,6}$, $P(B)=\mathrm{0,3}$ y $P(A\mathrm{/}B)=\mathrm{0,6}$. Se pide:

a) $P(A\cup B)$ [0,5 puntos]

b) $P(A-B)+P(B-A)$ [0,75 puntos]

c) $P(B\mathrm{/}{A}^c)$ [0,75 puntos]

d) Razone si los sucesos $A$ y $B$ son independientes. ¿Son incompatibles? [0,5 puntos]

De la definición de probabilidad condicionada, $P(A\mathrm{/}B)={\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(B)}}$, se despeja la intersección, que es lo que hace falta para todos los apartados.

$P(A\cap B)=P(A\mathrm{/}B)\cdot P(B)=\mathrm{0,6}\cdot \mathrm{0,3}=\mathrm{0,18}$

Aplicamos ahora la probabilidad de la unión.

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=\mathrm{0,6}+\mathrm{0,3}-\mathrm{0,18}=\mathrm{0,72}$

El reparto de la probabilidad entre las cuatro zonas del espacio muestral queda así:



La probabilidad de la unión es $P(A\cup B)=\mathrm{0,72}$.



Cada diferencia está formada por los sucesos elementales que están en uno de los dos conjuntos pero no en el otro.

$P(A-B)=P(A)-P(A\cap B)=\mathrm{0,6}-\mathrm{0,18}=\mathrm{0,42}$

$P(B-A)=P(B)-P(A\cap B)=\mathrm{0,3}-\mathrm{0,18}=\mathrm{0,12}$

$P(A-B)+P(B-A)=\mathrm{0,42}+\mathrm{0,12}=\mathrm{0,54}$

La suma pedida vale $\mathrm{0,54}$, que es la probabilidad de que ocurra uno solo de los dos sucesos.



Aplicamos la definición de probabilidad condicionada al suceso contrario de $A$.

$P(A^c)=1-P(A)=1-\mathrm{0,6}=\mathrm{0,4}$

$P(B\cap A^c)=P(B-A)=\mathrm{0,12}$

$P(B\mathrm{/}{A}^c)={\displaystyle \frac{P(B\cap A^c)}{P(A^c)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,12}}{\mathrm{0,4}}}=\mathrm{0,3}$

La probabilidad pedida es $P(B\mathrm{/}{A}^c)=\mathrm{0,3}$.

$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{Razone}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{sucesos}}\mathit{A}\mathbf{\text{y}}\mathit{B}\mathbf{\text{son}}\mathbf{\text{independientes.}}\mathbf{\text{¿Son}}\mathbf{\text{incompatibles?}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Dos sucesos son independientes cuando la probabilidad de su intersección es el producto de sus probabilidades.

$P(A)\cdot P(B)=\mathrm{0,6}\cdot \mathrm{0,3}=\mathrm{0,18}=P(A\cap B)$

Se cumple la igualdad, lo que ya anunciaban los apartados anteriores: $P(A\mathrm{/}B)=\mathrm{0,6}=P(A)$ y $P(B\mathrm{/}{A}^c)=\mathrm{0,3}=P(B)$, es decir, saber lo que ocurre con un suceso no cambia la probabilidad del otro.

Dos sucesos son incompatibles cuando su intersección es el suceso imposible, y aquí

$P(A\cap B)=\mathrm{0,18}\mathrm{\ne }0$

Los sucesos $A$ y $B$ son independientes, pero no son incompatibles.