Ejercicio resuelto de Diagramas de Venn · Matemáticas CCSS · 2023

En una empresa de reparto el 9 % de los paquetes llega con retraso, el 14 % llega defectuoso y 19 % llega con retraso o defectuoso o ambos.

a) Elegido un paquete al azar, ¿cuál es la probabilidad de que llegue defectuoso y con retraso? (0,75 puntos)

b) Si se sabe que un paquete llega con retraso, ¿cuál es la probabilidad de que llegue defectuoso? (0,75 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Elegido}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{paquete}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{llegue}}\mathbf{\text{defectuoso}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{retraso?}}\mathbf{\text{(0,75}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Nombramos los sucesos $R$ = el paquete llega con retraso y $D$ = llega defectuoso. Los datos del enunciado son:

$P(R)=\mathrm{0,09},P(D)=\mathrm{0,14},P(R\cup D)=\mathrm{0,19}$

De la probabilidad de la unión despejamos la de la intersección:

$P(R\cup D)=P(R)+P(D)-P(R\cap D)$

$\mathrm{0,19}=\mathrm{0,09}+\mathrm{0,14}-P(R\cap D)\Rightarrow P(R\cap D)=\mathrm{0,04}$



La probabilidad de que un paquete llegue defectuoso y con retraso es 0,04.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{sabe}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{paquete}}\mathbf{\text{llega}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{retraso,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{llegue}}\mathbf{\text{defectuoso?}}\mathbf{\text{(0,75}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Nos piden una probabilidad condicionada, que es el cociente entre la probabilidad de la intersección y la del suceso que se sabe que ha ocurrido.

$P(D\mathrm{/}R)={\displaystyle \frac{P(D\cap R)}{P(R)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,04}}{\mathrm{0,09}}}={\displaystyle \frac{4}{9}}\approx \mathrm{0,4444}$

Entre los paquetes que llegan con retraso, la probabilidad de que además lleguen defectuosos es $\frac{4}{9}$, aproximadamente 0,4444: bastante mayor que el 0,14 general, luego los dos sucesos no son independientes.