Ejercicio resuelto de Diagramas de Venn · Matemáticas CCSS · 2026

Se sabe que el 70 % de los turistas de una ciudad visita algún restaurante y el 30 % pernocta en la ciudad y visita algún restaurante. Entre los que pernoctan, el 60 % visita algún restaurante. Se pide:

a) Calcule la probabilidad de que un turista pernocte en la ciudad. ¿Son independientes los sucesos «visitar algún restaurante» y «pernoctar en la ciudad»? [1,25 puntos]

b) Calcule la probabilidad de que un turista o bien pernocte en la ciudad o bien visite algún restaurante. [0,75 puntos]

Nombramos los sucesos:

$P\equiv$ el turista pernocta en la ciudad,
$R\equiv$ el turista visita algún restaurante.

Los datos del enunciado son $P(R)=\mathrm{0,7}$, $P(P\cap R)=\mathrm{0,3}$ y $P(R\mathrm{/}P)=\mathrm{0,6}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{turista}}\mathbf{\text{pernocte}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ciudad.}}\mathbf{\text{¿Son}}\mathbf{\text{independientes}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{sucesos}}\mathbf{\text{«visitar}}\mathbf{\text{alg}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{restaurante»}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{«pernoctar}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ciudad»?}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

De la definición de probabilidad condicionada se despeja $P(P)$, que es lo que se pide.

$P(R\mathrm{/}P)={\displaystyle \frac{P(P\cap R)}{P(P)}}\Rightarrow P(P)={\displaystyle \frac{P(P\cap R)}{P(R\mathrm{/}P)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,6}}}=\mathrm{0,5}$

Dos sucesos son independientes cuando la probabilidad de su intersección es el producto de sus probabilidades. Se comprueba si ocurre.

$P(P)\cdot P(R)=\mathrm{0,5}\cdot \mathrm{0,7}=\mathrm{0,35}P(P\cap R)=\mathrm{0,3}$

$\mathrm{0,35}\mathrm{\ne }\mathrm{0,3}$

La probabilidad de que un turista pernocte en la ciudad es $\mathrm{0,5}$, y los dos sucesos no son independientes: entre los que pernoctan la proporción de los que van a un restaurante (el 60 %) es menor que en el total de turistas (el 70 %).

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{turista}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{bien}}\mathbf{\text{pernocte}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ciudad}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{bien}}\mathbf{\text{visite}}\mathbf{\text{alg}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{restaurante.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se pide la probabilidad de la unión, que se obtiene sumando las de los dos sucesos y descontando la de la intersección, contada dos veces.

$P(P\cup R)=P(P)+P(R)-P(P\cap R)$

$P(P\cup R)=\mathrm{0,5}+\mathrm{0,7}-\mathrm{0,3}=\mathrm{0,9}$

La probabilidad de que un turista pernocte en la ciudad o visite algún restaurante es $\mathrm{0,9}$.