Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

La empresa de deportes acuáticos DiverAqua ofrece tres tipos de actividades: esquí acuático, kayak y moto acuática. El precio por sesión y cliente de cada una de estas actividades es de 40 € para el esquí acuático, 20 € para el kayak y 60 € para la moto acuática. Sabemos que hoy DiverAqua ha vendido 45 sesiones en total. También sabemos que el número de clientes que han elegido esquí acuático es el triple de los que han elegido una sesión de kayak. La recaudación total del día ha sido de 1.700 €.

a) Plantee un sistema de ecuaciones lineales que recoja toda esta información. [1 punto]

b) ¿Cuántas personas han llevado a cabo cada una de las tres actividades? [1,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Plantee}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ecuaciones}}\mathbf{\text{lineales}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{recoja}}\mathbf{\text{toda}}\mathbf{\text{esta}}\mathbf{\text{informaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Llamamos $x$ al número de sesiones de esquí acuático, $y$ al de sesiones de kayak y $z$ al de sesiones de moto acuática. Traducimos a ecuaciones los tres datos del enunciado.

En total se han vendido 45 sesiones:

$x+y+z=45$

Los clientes de esquí acuático triplican a los de kayak:

$x=3y$

La recaudación del día ha sido de 1.700 €, a 40 €, 20 € y 60 € la sesión:

$40x+20y+60z=1700$

El sistema que recoge toda la información es:

$\{\begin{array}{l}x+y+z=45\\ x-3y=0\\ 40x+20y+60z=1700\end{array}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntas}}\mathbf{\text{personas}}\mathbf{\text{han}}\mathbf{\text{llevado}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{cabo}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{tres}}\mathbf{\text{actividades?}}\mathbf{\text{(1,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Se resuelve el sistema por sustitución. De la segunda ecuación ya tenemos $x=3y$; sustituyendo en la primera:

$3y+y+z=45\Rightarrow z=45-4y$

Llevamos las dos expresiones a la tercera ecuación:

$40\cdot 3y+20y+60(45-4y)=1700$

$120y+20y+2700-240y=1700$

$-100y=-1000\Rightarrow y=10$

Deshacemos las sustituciones:

$x=3\cdot 10=30$

$z=45-4\cdot 10=5$

Comprobamos la recaudación:

$40\cdot 30+20\cdot 10+60\cdot 5=1200+200+300=1700$

Han hecho esquí acuático $30$ personas, kayak $10$ personas y moto acuática $5$ personas.