Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

PROBLEMA 4. (2 puntos) Responde solo a una de las opciones.
(OPCIÓN 4B)
Se considera el siguiente sistema lineal dependiente del parámetro real $k$
$\{\begin{array}{l}x-3y+z=0\\ x-ky-3z=0\\ 5x-z=0\end{array}\mathrm{.}$

(a) (1 punto) Discute el sistema para los distintos valores de $k$.
(b) (1 punto) Resuelve el sistema en los casos que sea posible.

$\mathbf{\text{(a)}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}\mathbf{\text{Discute}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{distintos}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathit{k}\mathbf{\text{.}}$

El sistema es homogéneo, de modo que siempre es compatible: la terna nula lo cumple. La discusión se reduce entonces a decidir cuándo la solución es única y cuándo hay infinitas, y eso lo marca el rango de la matriz de coeficientes.

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& -3& 1\\ 1& -k& -3\\ 5& 0& -1\end{array}\right)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=[1\cdot (-k)\cdot (-1)+(-3)\cdot (-3)\cdot 5+1\cdot 1\cdot 0]-[1\cdot (-k)\cdot 5+(-3)\cdot 1\cdot (-1)+1\cdot (-3)\cdot 0]$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=(k+45+0)-(-5k+3+0)=6k+42$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0\Rightarrow 6k+42=0\Rightarrow k=-7$

Se distinguen los dos casos. Si $k\mathrm{\ne }-7$, el determinante no se anula:

$\text{rg}(A)=\text{rg}(A\mathrm{\mid }B)=3=\text{n.º de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$

es decir, sistema compatible determinado, con la solución trivial como única solución.

Si $k=-7$, el determinante es nulo y hay que bajar a los menores de orden dos:

$\mid \begin{array}{cc}1& -3\\ 1& 7\end{array}\mid =7+3=10\mathrm{\ne }0\Rightarrow \text{ rg}(A)=2$

$\text{rg}(A)=\text{rg}(A\mathrm{\mid }B)=2<3=\text{n.º de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$

es decir, sistema compatible indeterminado, con infinitas soluciones dependientes de un parámetro.

El sistema es compatible determinado para todo $k\mathrm{\ne }-7$ y compatible indeterminado uniparamétrico para $k=-7$. Al ser homogéneo, nunca resulta incompatible.

$\mathbf{\text{(b)}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}\mathbf{\text{Resuelve}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{casos}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{posible.}}$

En el primer caso, $k\mathrm{\ne }-7$, el sistema es compatible determinado y homogéneo, de modo que su única solución es la trivial.

$x=0,y=0,z=0$

En el segundo caso, $k=-7$, el sistema queda así:

$\{\begin{array}{l}x-3y+z=0\\ x+7y-3z=0\\ 5x-z=0\end{array}$

Como el rango es $2$, se prescinde de una ecuación y se pasa una incógnita al segundo miembro como parámetro. Se conservan las dos primeras ecuaciones, que son las del menor no nulo, y se toma $z$ como parámetro.

$\{\begin{array}{l}x-3y=-z\\ x+7y=3z\end{array}$

$(x+7y)-(x-3y)=3z-(-z)\Rightarrow 10y=4z\Rightarrow y={\displaystyle \frac{2z}{5}}$

$x=3y-z={\displaystyle \frac{6z}{5}}-z={\displaystyle \frac{z}{5}}$

Para que la solución quede sin denominadores se llama $z=5\lambda$, con $\lambda \in \mathbb{R}$.

$\{\begin{array}{l}x=\lambda \\ y=2\lambda \\ z=5\lambda \end{array},\lambda \in \mathbb{R}$

Se comprueba en la ecuación que se había descartado:

$5x-z=5\lambda -5\lambda =0$

Si $k\mathrm{\ne }-7$ la única solución es la trivial $(0,0,0)$, y si $k=-7$ las soluciones son todas las ternas de la forma $(\lambda ,2\lambda ,5\lambda )$ con $\lambda$ real.