Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Pregunta 4 (2 puntos)

Opción B. Haroun se ha propuesto seguir un plan de entrenamiento mensual que combine rutinas de tres influencers de fitness: Sergio Peinado, Patry Jordán y Coco Constans. En total, deben ser 18 rutinas al mes. Las rutinas de Sergio Peinado incluyen 4 ejercicios de cardio, las de Patry Jordán, 3, y las de Coco Constans, 2. Haroun ha decidido hacer exactamente 59 ejercicios de cardio en total. Además, quiere que el número de rutinas de Sergio Peinado sea el doble que el número de rutinas de Coco Constans.

a) Plantee un sistema de ecuaciones que nos permita saber cuántas rutinas de cada influencer de fitness debe incluir Haroun en su plan de entrenamiento. [1 punto]

b) Resuelva razonadamente el sistema planteado. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Plantee}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ecuaciones}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{nos}}\mathbf{\text{permita}}\mathbf{\text{saber}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntas}}\mathbf{\text{rutinas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{influencer}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{fitness}}\mathbf{\text{debe}}\mathbf{\text{incluir}}\mathbf{\text{Haroun}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{plan}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{entrenamiento.}}(1\text{ punto})$

Llamamos $x$ al número de rutinas de Sergio Peinado, $y$ al de Patry Jordán y $z$ al de Coco Constans.

En total son $18$ rutinas al mes.

$x+y+z=18$

Cada rutina aporta $4$, $3$ y $2$ ejercicios de cardio respectivamente, y el total ha de ser $59$.

$4x+3y+2z=59$

Las rutinas de Sergio Peinado son el doble que las de Coco Constans.

$x=2z$

El sistema que modela el problema es, por tanto:

$\{\begin{array}{l}x+y+z=18\\ 4x+3y+2z=59\\ x=2z\end{array}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Resuelva}}\mathbf{\text{razonadamente}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{planteado.}}(1\text{ punto})$

Se resuelve por sustitución, aprovechando que la tercera ecuación ya da $x$ en función de $z$.

$2z+y+z=18\Rightarrow y=18-3z$

$4\cdot 2z+3y+2z=59\Rightarrow 10z+3y=59$

Se sustituye $y$ en la última ecuación.

$10z+3(18-3z)=59\Rightarrow z+54=59\Rightarrow z=5$

$x=2z=10;y=18-3\cdot 5=3$

Los tres valores son naturales, como corresponde a un número de rutinas, y cumplen las tres ecuaciones: el sistema es compatible determinado. Haroun debe incluir $10$ rutinas de Sergio Peinado, $3$ de Patry Jordán y $5$ de Coco Constans.