Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Cuestión 1. (2,5 puntos) Discutir el sistema lineal de ecuaciones en función de los valores del parámetro $a$:
$\{\begin{array}{l}4x+ay-2z=1\\ ax-2y+2z=-1\\ ax+y=0\end{array}$ (2 puntos)

Resolverlo para $a=1$. (0,5 puntos)

$\mathbf{\text{Discutir}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{lineal}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ecuaciones}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathit{a}\mathbf{\text{.}}(2\text{ puntos})$

Se aplica el teorema de Rouché-Frobenius. Se empieza por el determinante de la matriz de coeficientes, desarrollando por la tercera fila.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}4& a& -2\\ a& -2& 2\\ a& 1& 0\end{array}\mid =a(2a-4)-(8+2a)=2a^2-6a-8$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=2(a-4)(a+1)=0\Rightarrow a=4;a=-1$

Si $a\mathrm{\ne }4$ y $a\mathrm{\ne }-1$, es $\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(\bar{A})=3=n$ y el sistema es compatible determinado.

Para $a=-1$ el menor $\mid \begin{array}{cc}4& -1\\ -1& -2\end{array}\mid =-9\mathrm{\ne }0$ da $\mathrm{rg}(A)=2$, y al orlarlo con la columna de términos independientes el determinante se anula.

$\mid \begin{array}{ccc}4& -1& 1\\ -1& -2& -1\\ -1& 1& 0\end{array}\mid =0\Rightarrow \mathrm{rg}(\bar{A})=2$

Para $a=4$ ocurre lo mismo: el menor $\mid \begin{array}{cc}4& 4\\ 4& -2\end{array}\mid =-24\mathrm{\ne }0$ da rango dos y el orlado vuelve a anularse.

El sistema es compatible determinado si $a\mathrm{\ne }4$ y $a\mathrm{\ne }-1$, y compatible indeterminado en los dos valores críticos.



Como $1$ no es ninguno de los valores críticos, el sistema es compatible determinado, con $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=2(1-4)(1+1)=-12$. Se resuelve por la regla de Cramer.

$x={\displaystyle \frac{1}{-12}}\mid \begin{array}{ccc}1& 1& -2\\ -1& -2& 2\\ 0& 1& 0\end{array}\mid ={\displaystyle \frac{0}{-12}}=0$

$y={\displaystyle \frac{1}{-12}}\mid \begin{array}{ccc}4& 1& -2\\ 1& -1& 2\\ 1& 0& 0\end{array}\mid ={\displaystyle \frac{0}{-12}}=0$

$z={\displaystyle \frac{1}{-12}}\mid \begin{array}{ccc}4& 1& 1\\ 1& -2& -1\\ 1& 1& 0\end{array}\mid ={\displaystyle \frac{6}{-12}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$

Para $a=1$ la solución del sistema es $x=0$, $y=0$, $z=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$.