Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Pregunta 1. En una fiesta se bebieron n copas de vino tinto por cada una de vino blanco. Cada copa (sea de vino tinto o blanco) contiene 0.15 litros y en total se tomaron 30 litros de vino.\n a) [0.5 puntos] Plantea un sistema de dos ecuaciones en función del parámetro n donde las incógnitas x e y sean el número de copas de vino tinto y blanco, respectivamente.\n b) [2 puntos] ¿Para qué valores de n el sistema anterior tiene solución? En caso de existir solución, ¿es siempre única? ¿Cuántas copas se tomaron de cada tipo si en total se consumieron 9 litros de vino?

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Plantea}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{ecuaciones}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathbf{\text{donde}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{inc}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{gnitas}}\mathbf{\text{x}}\mathbf{\text{e}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{sean}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{copas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{vino}}\mathbf{\text{tinto}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{blanco,}}\mathbf{\text{respectivamente.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El cuadernillo oficial llama $m$ al parámetro y dice que en total se tomaron $3m$ litros de vino; el texto de arriba lo ha transcrito mal. Se trabaja con el enunciado oficial.

Se llama $x$ al número de copas de tinto e $y$ al de blanco. Que se beban $m$ copas de tinto por cada una de blanco se escribe $x=my$, y el volumen total, midiendo cada copa 0,15 litros, es $\mathrm{0,15}(x+y)=3m$. Dividiendo esta segunda entre 0,15:

$\{\begin{array}{rcrcl}x& -& my& =& 0\\ x& +& y& =& 20m\end{array}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Para}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{anterior}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{soluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n?}}\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{caso}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{existir}}\mathbf{\text{soluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n,}}\mathbf{\text{¿es}}\mathbf{\text{siempre}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{nica?}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntas}}\mathbf{\text{copas}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{tomaron}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{total}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{consumieron}}\mathbf{\text{9}}\mathbf{\text{litros}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{vino?}}\mathbf{\text{[2}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El determinante de la matriz de coeficientes es

$\mid \begin{array}{cc}1& -m\\ 1& 1\end{array}\mid =1+m$

que solo se anula para $m=-1$, valor imposible en el contexto: $m$ cuenta copas y no puede ser negativo. Por tanto, para cualquier $m>0$ el sistema es compatible determinado y la solución es $\mathbf{\text{siempre}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{nica}}$.

Resolviendo en general, se sustituye $x=my$ en la segunda ecuación:

$my+y=20m⟹y=\frac{20m}{m+1}x=\frac{20m^2}{m+1}$

Consumir 9 litros en total significa $3m=9$, es decir, $m=3$: se bebieron tres copas de tinto por cada una de blanco. Sustituyendo:

$y=\frac{60}{4}=15x=\frac{180}{4}=45$

Se tomaron $\mathbf{\text{45}}\mathbf{\text{copas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{vino}}\mathbf{\text{tinto}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{15}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{vino}}\mathbf{\text{blanco}}$. La comprobación cierra: son 60 copas en total y $60\cdot \mathrm{0,15}=9$ litros.