Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

$\mathbf{\text{Problema}}\mathbf{\text{1.}}\mathbf{\text{B.}}$

A un espectáculo circense acuden $500$ espectadores, y la recaudación del importe de las entradas asciende a $2.115$ euros. Los menores de $5$ años pagan el $20\mathrm{\%}$ de la entrada, y los que tienen entre $5$ y $16$ años el $50\mathrm{\%}$. Calcula cuántos espectadores han pagado el importe total de la entrada, que vale $9$ euros, cuántos han pagado el $20\mathrm{\%}$ de la entrada y cuántos el $50\mathrm{\%}$, sabiendo que el número de espectadores que han pagado el $20\mathrm{\%}$ es el doble del número de espectadores que han pagado la entrada completa.

(Planteamiento correcto 1,5 puntos --- Resolución correcta 2 puntos)

Pagan la entrada completa $⟶x$, con recaudación $9x$.

Pagan el $20\mathrm{\%}$ $⟶y$, con recaudación $\mathrm{1,8}y$.

Pagan el $50\mathrm{\%}$ $⟶z$, con recaudación $\mathrm{4,5}z$.




$\begin{array}{r}x+y+z=500\\ 9x+\mathrm{1,8}y+\mathrm{4,5}z=2115\\ y=2x\end{array}\}$





$A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 500\\ 9& \mathrm{1,8}& \mathrm{4,5}& 2115\\ -2& 1& 0& 0\end{array}\right)$

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 9& \mathrm{1,8}& \mathrm{4,5}\\ -2& 1& 0\end{array}\right)\det (A)=\mid \begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 9& \mathrm{1,8}& \mathrm{4,5}\\ -2& 1& 0\end{array}\mid =-\mathrm{0,9}$

$\Rightarrow \mathrm{rg}(A)=3\Rightarrow \text{Sistema compatible determinado}\Rightarrow \text{Cramer}$

$x={\displaystyle \frac{\mid \begin{array}{ccc}500& 1& 1\\ 2115& \mathrm{1,8}& \mathrm{4,5}\\ 0& 1& 0\end{array}\mid }{-\mathrm{0,9}}}={\displaystyle \frac{-135}{-\mathrm{0,9}}}=150$

$150$ espectadores pagan la entrada completa.

$y={\displaystyle \frac{\mid \begin{array}{ccc}1& 500& 1\\ 9& 2115& \mathrm{4,5}\\ -2& 0& 0\end{array}\mid }{-\mathrm{0,9}}}={\displaystyle \frac{-270}{-\mathrm{0,9}}}=300$

$300$ espectadores pagan el $20\mathrm{\%}$ de la entrada.

$z={\displaystyle \frac{\mid \begin{array}{ccc}1& 1& 500\\ 9& \mathrm{1,8}& 2115\\ -2& 1& 0\end{array}\mid }{-\mathrm{0,9}}}={\displaystyle \frac{-45}{-\mathrm{0,9}}}=50$

$50$ espectadores pagan el $50\mathrm{\%}$ de la entrada.