Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Cuestión 1. (2 puntos) Discutir el sistema lineal de ecuaciones en función de los valores del parámetro $a$:
$\{\begin{array}{l}x+ay+z=1\\ 2y+az=2\\ x+y+z=1\end{array}$
Resolverlo para $a=3$.

$\mathbf{\text{Discutir}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{lineal}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ecuaciones}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathit{a}\mathbf{\text{.}}$

Se aplica el teorema de Rouché-Frobenius. Se empieza por el determinante de la matriz de coeficientes, desarrollando por la primera fila.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}1& a& 1\\ 0& 2& a\\ 1& 1& 1\end{array}\mid =(2-a)+a^2-2=a^2-a$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=a(a-1)=0\Rightarrow a=0;a=1$

Si $a\mathrm{\ne }0$ y $a\mathrm{\ne }1$, es $\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(A^{\ast })=3=n$ y el sistema es compatible determinado.

Para $a=0$ el menor $\mid \begin{array}{cc}0& 1\\ 2& 0\end{array}\mid =-2\mathrm{\ne }0$ da $\mathrm{rg}(A)=2$. De la segunda ecuación sale $y=1$ y, sustituyendo en la tercera, $x+z=0$, que contradice la primera, $x+z=1$.

Para $a=1$ la primera y la tercera ecuación son idénticas, así que la ampliada no aporta información nueva y ambos rangos valen $2$.

El sistema es compatible determinado si $a\mathrm{\ne }0$ y $a\mathrm{\ne }1$, incompatible si $a=0$ y compatible indeterminado si $a=1$.



Como $3$ no es ninguno de los valores críticos, el sistema es compatible determinado. Restando la tercera ecuación de la primera se despeja $y$ de inmediato.

$(x+3y+z)-(x+y+z)=0\Rightarrow 2y=0\Rightarrow y=0$

$3z=2\Rightarrow z={\displaystyle \frac{2}{3}};x+{\displaystyle \frac{2}{3}}=1\Rightarrow x={\displaystyle \frac{1}{3}}$

Para $a=3$ la solución del sistema es $x={\displaystyle \frac{1}{3}}$, $y=0$, $z={\displaystyle \frac{2}{3}}$.