Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

1. La dueña de una cafetería ha comprado café y leche por un importe total de 2500 euros. Si vende todos estos productos, ganando un 80 % con el café y un m % con la leche, obtiene por ellos un importe total de 2900 + 20m euros.
a) [0,5 puntos] Plantea un sistema de ecuaciones (en función de m) donde las incógnitas x e y sean el coste de compra del café y la leche.
b) [2 puntos] ¿Para qué valores de m el sistema anterior tiene solución? En caso de existir solución, ¿es siempre única? ¿Cuánto costó el café si el beneficio de venta de la leche es del 20 %?

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Plantea}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ecuaciones}}\mathbf{\text{(en}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{m)}}\mathbf{\text{donde}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{inc}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{gnitas}}\mathbf{\text{x}}\mathbf{\text{e}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{sean}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{coste}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{compra}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{caf}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{leche.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se llama $x$ a lo que costó comprar el café e $y$ a lo que costó la leche. La primera ecuación es la compra:

$x+y=2500$

Para la segunda hay que pensar en la venta. Ganar un 80 % con el café significa venderlo por $\mathrm{1,8}x$, y ganar un $m\mathrm{\%}$ con la leche, venderla por $(1+{\displaystyle \frac{m}{100}})y$. El importe total de la venta es $2900+20m$:

$\{\begin{array}{rcl}x+y& =& 2500\\ \mathrm{1,8}x+(1+{\displaystyle \frac{m}{100}})y& =& 2900+20m\end{array}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Para}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{m}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{anterior}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{soluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n?}}\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{caso}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{existir}}\mathbf{\text{soluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n,}}\mathbf{\text{¿es}}\mathbf{\text{siempre}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{nica?}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nto}}\mathbf{\text{cost}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{caf}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{venta}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{leche}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{20\%?}}\mathbf{\text{[2}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El determinante de la matriz de coeficientes es

$\mid \begin{array}{cc}1& 1\\ \mathrm{1,8}& 1+{\displaystyle \frac{m}{100}}\end{array}\mid =1+\frac{m}{100}-\mathrm{1,8}=\frac{m-80}{100}$

que se anula solo para $m=80$. Hay dos casos.

$\mathbf{\text{Si}}m\mathrm{\ne }80$: el sistema es compatible determinado y la solución es única.

$\mathbf{\text{Si}}m=80$: la segunda ecuación pasa a ser $\mathrm{1,8}x+\mathrm{1,8}y=2900+1600=4500$, es decir, $x+y=2500$: la misma que la primera. El sistema es compatible indeterminado y tiene infinitas soluciones, cosa razonable, porque si los dos productos dejan el mismo 80 % de beneficio da igual cómo se reparta el gasto.

En resumen, el sistema $\mathbf{\text{siempre}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{soluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}$, pero solo es única cuando $m\mathrm{\ne }80$.

Un beneficio del 20 % en la leche significa $m=20$, y el sistema queda

$\{\begin{array}{rcl}x+y& =& 2500\\ \mathrm{1,8}x+\mathrm{1,2}y& =& 3300\end{array}$

Se despeja $y=2500-x$ en la primera y se sustituye:

$\mathrm{1,8}x+\mathrm{1,2}(2500-x)=3300⟹\mathrm{0,6}x+3000=3300⟹x=500$

El café costó $\mathbf{\text{500}}\mathbf{\text{euros}}$ (y la leche, 2000). Conviene resolver también el caso general para ver lo que ocurre: sustituyendo $y=2500-x$ en la segunda ecuación se llega a $x(80-m)=500(80-m)$, de modo que, siempre que $m\mathrm{\ne }80$, sale $x=500$ e $y=2000$ sea cual sea el beneficio de la leche.