Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Consideremos la matriz $A=\left(\begin{array}{cc}x& -2\\ 5& -x\end{array}\right)$. Estudie para qué valores de $x$ la matriz inversa de la matriz $A$ coincide con su opuesta, es decir, $A^{-1}=-A$. [2,5 puntos]

Conviene transformar la condición antes de calcular nada. Por la definición de matriz inversa, $A\cdot A^{-1}=I$, de modo que si la inversa es la opuesta:

$A^{-1}=-A\Rightarrow A\cdot (-A)=I\Rightarrow -A^2=I\Rightarrow A^2=-I$

Así el problema se reduce a calcular el cuadrado de la matriz, sin necesidad de invertirla.

$A^2=\left(\begin{array}{cc}x& -2\\ 5& -x\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}x& -2\\ 5& -x\end{array}\right)$

$A^2=\left(\begin{array}{cc}x\cdot x+(-2)\cdot 5& x(-2)+(-2)(-x)\\ 5x+(-x)\cdot 5& 5(-2)+(-x)(-x)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{x}^2-10& 0\\ 0& x^2-10\end{array}\right)$

Los elementos de fuera de la diagonal son nulos para cualquier valor del parámetro, así que basta imponer que los de la diagonal valgan $-1$.

$x^2-10=-1\Rightarrow x^2=9\Rightarrow x=\pm 3$

Hay que comprobar que para esos valores la matriz tiene inversa, es decir, que su determinante no se anula.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{cc}x& -2\\ 5& -x\end{array}\mid =-x^2+10$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=-9+10=1\mathrm{\ne }0$

Comprobamos el resultado con $x=3$:

$A=\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ 5& -3\end{array}\right),A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{1}}\left(\begin{array}{cc}-3& 2\\ -5& 3\end{array}\right)=-A$

La inversa de $A$ coincide con su opuesta para $x=3$ y para $x=-3$.