Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Considere las matrices $A=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& 2\end{array}\right)$ y $B=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& a\end{array}\right)$, donde $a$ es un parámetro real.

a) Calcule para qué valor de $a$ las dos matrices conmutan, es decir, para qué valor de $a$ se cumple que $A\cdot B=B\cdot A$. Compruebe que para este valor de $a$ se satisface que $A\cdot B=2\cdot I$, donde $I$ es la matriz identidad de orden dos. [1,25 puntos]

b) Para el valor de $a$ encontrado en el apartado anterior, calcule las matrices inversas de las matrices $A$ y $B$. Puede aplicar la relación $A\cdot B=2\cdot I$. [1,25 puntos]

Calculamos los dos productos por separado, dejando el parámetro indicado.

$A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& 2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& a\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1\cdot 2+(-1)\cdot 0& 1\cdot 1+(-1)\cdot a\\ 0\cdot 2+2\cdot 0& 0\cdot 1+2\cdot a\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 1-a\\ 0& 2a\end{array}\right)$

$B\cdot A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& a\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2\cdot 1+1\cdot 0& 2\cdot (-1)+1\cdot 2\\ 0\cdot 1+a\cdot 0& 0\cdot (-1)+a\cdot 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2a\end{array}\right)$

Dos matrices son iguales si coinciden todos sus elementos. Aquí solo difiere el de la primera fila y segunda columna.

$1-a=0\Rightarrow a=1$

Sustituimos ese valor en el producto:

$A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}2& 1-1\\ 0& 2\cdot 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)=2\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=2I$

Las dos matrices conmutan si $a=1$, y con ese valor se cumple efectivamente que $A\cdot B=2I$.



La relación del apartado anterior permite obtener las dos inversas sin calcular determinantes ni adjuntos. Dividiendo los dos miembros entre 2:

$A\cdot B=2I\Rightarrow A\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}B=I$

Por la definición de matriz inversa, la matriz que multiplicada por $A$ da la identidad es precisamente $A^{-1}$:

$A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{2}}B={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& {\displaystyle \frac{1}{2}}\\ 0& {\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right)$

Como las dos matrices conmutan, la misma igualdad sirve para la otra:

${\displaystyle \frac{1}{2}}A\cdot B=I\Rightarrow B^{-1}={\displaystyle \frac{1}{2}}A={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{2}}& -{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ 0& 1\end{array}\right)$

Comprobamos una de las dos:

$A\cdot A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& 2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1& {\displaystyle \frac{1}{2}}\\ 0& {\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=I$

Las matrices inversas son $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& {\displaystyle \frac{1}{2}}\\ 0& {\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right)$ y $B^{-1}=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{2}}& -{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ 0& 1\end{array}\right)$.