Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Considere la matriz $A=\left(\begin{array}{cc}1& a\\ 2& -1\end{array}\right)$, donde $a$ es un parámetro real.

a) Si llamamos $I$ a la matriz identidad de orden 2, encuentre el valor de $a$ para el cual $A^2=I$. [1 punto]

b) Para $a=-1$, calcule $A^2$, $A^3$ y $A^4$. Utilice los cálculos anteriores para deducir el valor de $A^{-1}$ y de $A^{23}$. [1,5 puntos]

Calculamos el cuadrado de la matriz dejando el parámetro indicado.

$A^2=\left(\begin{array}{cc}1& a\\ 2& -1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1& a\\ 2& -1\end{array}\right)$

$A^2=\left(\begin{array}{cc}1\cdot 1+a\cdot 2& 1\cdot a+a\cdot (-1)\\ 2\cdot 1+(-1)\cdot 2& 2\cdot a+(-1)(-1)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1+2a& 0\\ 0& 2a+1\end{array}\right)$

Los dos elementos de fuera de la diagonal son nulos para cualquier valor del parámetro, así que basta imponer que los de la diagonal valgan 1.

$1+2a=1\Rightarrow 2a=0\Rightarrow a=0$

Comprobamos el resultado:

$A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& -1\end{array}\right)\Rightarrow A^2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=I$

El único valor del parámetro para el que $A^2=I$ es $a=0$.



Con $a=-1$ la matriz es:

$A=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 2& -1\end{array}\right)$

Aplicando la fórmula del apartado anterior con $a=-1$:

$A^2=\left(\begin{array}{cc}1+2(-1)& 0\\ 0& 2(-1)+1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)=-I$

$A^3=A^2\cdot A=-I\cdot A=-A=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ -2& 1\end{array}\right)$

$A^4=A^2\cdot A^2=(-I)(-I)=I$

De la última igualdad se deduce la inversa: si $A^4=I$, entonces $A\cdot A^3=I$, y por la definición de matriz inversa:

$A^{-1}=A^3=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ -2& 1\end{array}\right)$

Las potencias se repiten con periodo 4, porque $A^4=I$. Dividimos el exponente entre 4:

$23=4\cdot 5+3$

$A^{23}=A^{4\cdot 5+3}=(A^4{)}^5\cdot A^3=I^5\cdot A^3=A^3$

$A^{23}=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ -2& 1\end{array}\right)$

La inversa de $A$ y la potencia $A^{23}$ coinciden, y las dos valen $\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ -2& 1\end{array}\right)$.