Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Pregunta 3.1 (2,5 puntos). Responda únicamente a una de las dos opciones, o bien 3.1 o bien 3.2.

Considere las siguientes matrices:
$A=\left(\begin{array}{ccc}1\mathrm{/}2& 1& 3\mathrm{/}2\\ 1& 1\mathrm{/}2& 1\\ 3\mathrm{/}2& 1& 1\mathrm{/}2\end{array}\right)\text{y}B=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1\mathrm{/}2& 0\\ 0& 0& 1\mathrm{/}4\end{array}\right)\mathrm{.}$

a) (1,5 puntos) Calcule la matriz $X$ en la ecuación matricial $AXB=A+B$.

b) (1 punto) Calcule el determinante $\mathrm{\mid }{C}^{2}B\mathrm{\mid }$, siendo $C=2(A^{-1}{)}^t$.

Nota: $M^t$ denota la matriz traspuesta de la matriz $M$.

Empezamos por los determinantes, porque de ellos depende que se pueda despejar.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{1}{2}}(-{\displaystyle \frac{3}{4}})-1(-1)+{\displaystyle \frac{3}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{4}}=-{\displaystyle \frac{3}{8}}+1+{\displaystyle \frac{3}{8}}=1$

$\mathrm{\mid }B\mathrm{\mid }=1\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{1}{8}}$

Ambos son distintos de cero, así que las dos matrices son invertibles. Como $A$ multiplica por la izquierda y $B$ por la derecha, multiplicamos por $A^{-1}$ a la izquierda y por $B^{-1}$ a la derecha.

$A^{-1}(AXB)B^{-1}=A^{-1}(A+B)B^{-1}\Rightarrow X=A^{-1}(A+B)B^{-1}$

Conviene distribuir antes de operar, porque la expresión se simplifica sola.

$X=A^{-1}A{B}^{-1}+A^{-1}B{B}^{-1}=B^{-1}+A^{-1}$

La matriz $B$ es diagonal, de modo que su inversa se obtiene invirtiendo cada elemento de la diagonal.

$B^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 4\end{array}\right)$

Para $A$ aplicamos $A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }}}{(\mathrm{Adj}(A))}^t$, que aquí es simplemente la traspuesta de la matriz de adjuntos porque $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=1$.

$\mathrm{Adj}(A)=\left(\begin{array}{ccc}-{\displaystyle \frac{3}{4}}& 1& {\displaystyle \frac{1}{4}}\\ 1& -2& 1\\ {\displaystyle \frac{1}{4}}& 1& -{\displaystyle \frac{3}{4}}\end{array}\right)\Rightarrow A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}-{\displaystyle \frac{3}{4}}& 1& {\displaystyle \frac{1}{4}}\\ 1& -2& 1\\ {\displaystyle \frac{1}{4}}& 1& -{\displaystyle \frac{3}{4}}\end{array}\right)$

La matriz de adjuntos coincide con su traspuesta porque $A$ es simétrica. Sumamos las dos inversas elemento a elemento.

$X=A^{-1}+B^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{1}{4}}& 1& {\displaystyle \frac{1}{4}}\\ 1& 0& 1\\ {\displaystyle \frac{1}{4}}& 1& {\displaystyle \frac{13}{4}}\end{array}\right)$

Al multiplicar $AXB$ se recupera $A+B$, lo que confirma el resultado.



No hace falta calcular $C$: basta encadenar las propiedades de los determinantes. Al multiplicar una matriz de orden tres por un escalar, este sale elevado al cubo; trasponer no cambia el determinante y el de la inversa es el inverso del determinante.

$\mathrm{\mid }C\mathrm{\mid }=\mid 2(A^{-1}{)}^t\mid =2^3\mid (A^{-1}{)}^t\mid =8\mid A^{-1}\mid ={\displaystyle \frac{8}{\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }}}=8$

Aplicamos ahora que el determinante de un producto es el producto de los determinantes.

$\mathrm{\mid }{C}^{2}B\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }C{\mathrm{\mid }}^2\cdot \mathrm{\mid }B\mathrm{\mid }=8^2\cdot {\displaystyle \frac{1}{8}}=8$

El determinante pedido vale $\mathrm{\mid }{C}^{2}B\mathrm{\mid }=8$.