Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Apartado 1 - Cuestión A. (2,5 puntos)

[1,5 puntos] Dadas las matrices $A,ByC$:
$A=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 0\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -1& 1\end{array}\right)yC=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& -1\end{array}\right)$

a) Calcula $C^2$. [0,25 puntos]
b) Halla $A+B+C^2$. [0,25 puntos]
c) Encuentra $(A-B{)}^{-1}$. [0,25 puntos]
d) Resuelve la ecuación matricial $AX-BX=A+B+C^2$. [0,75 puntos]

[1 punto] Discute y resuelve, si es posible, el siguiente sistema lineal:
$\{\begin{array}{l}3x+2y-z=3\\ x-y+2z=4\\ 2x+3y-z=3\end{array}$

Se multiplica la matriz por sí misma.

$C^2=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

La matriz $C$ es involutiva: $C^2=I$, la identidad de orden $2$.



Se suman las tres matrices elemento a elemento.

$A+B+C^2=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -1& 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4& -1\\ 0& 2\end{array}\right)$



Se resta primero y se comprueba que la diferencia es regular.

$A-B=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 2& -1\end{array}\right);\mathrm{\mid }A-B\mathrm{\mid }=-1+2=1\mathrm{\ne }0$

Como el determinante vale $1$, la inversa es directamente la traspuesta de la matriz de adjuntos.

$(A-B{)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ -2& 1\end{array}\right)$



Se saca factor común $X$ por la derecha y se despeja multiplicando por la izquierda por la inversa del apartado c).

$(A-B)X=A+B+C^2\Rightarrow X=(A-B{)}^{-1}(A+B+C^2)$

$X=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ -2& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}4& -1\\ 0& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-4& 3\\ -8& 4\end{array}\right)$

La solución de la ecuación matricial es la matriz anterior.

$\mathbf{\text{Discute}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{resuelve,}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{posible,}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{siguiente}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{lineal.}}(1\text{ punto})$

Se discute con el teorema de Rouché-Frobenius, calculando el determinante de la matriz de coeficientes.

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}3& 2& -1\\ 1& -1& 2\\ 2& 3& -1\end{array}\mid =3(1-6)-2(-1-4)-(3+2)=-15+10-5=-10$

Como $\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=-10\mathrm{\ne }0$, se tiene $\mathrm{rg}(M)=\mathrm{rg}(M\mathrm{\mid }b)=3=n$: el sistema es compatible determinado. Se resuelve por la regla de Cramer.

$x={\displaystyle \frac{1}{-10}}\mid \begin{array}{ccc}3& 2& -1\\ 4& -1& 2\\ 3& 3& -1\end{array}\mid ={\displaystyle \frac{-10}{-10}}=1$

$y={\displaystyle \frac{1}{-10}}\mid \begin{array}{ccc}3& 3& -1\\ 1& 4& 2\\ 2& 3& -1\end{array}\mid ={\displaystyle \frac{-10}{-10}}=1$

$z={\displaystyle \frac{1}{-10}}\mid \begin{array}{ccc}3& 2& 3\\ 1& -1& 4\\ 2& 3& 3\end{array}\mid ={\displaystyle \frac{-20}{-10}}=2$

El sistema es compatible determinado y su única solución es $x=1$, $y=1$, $z=2$.