Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Cuestión 1. (2,5 puntos) Dadas las matrices $A=\left(\begin{array}{cc}10& 4\\ 4& 2\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}3& a\\ a& 1\end{array}\right)$ y $C=\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ 1& 5\end{array}\right)$, se pide:
a) Calcular el valor de $a$ para el que $B^t=A$ (0,75 puntos)
b) Calcular la matriz inversa $A^{-1}$ (0,75 puntos)
c) Para $a=0$, Encuentre la matriz $X$ que satisface la ecuación $AX+B=C$ (1 punto)

La matriz $B$ es simétrica, así que $B^t=B$ y la igualdad exigiría $3=10$: no hay ningún valor de $a$ que la cumpla. La condición del examen es $B^2=A$, que sí determina el parámetro.

$B^2=\left(\begin{array}{cc}3& a\\ a& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}3& a\\ a& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}9+a^2& 4a\\ 4a& a^2+1\end{array}\right)$

Se igualan los elementos con los de $A$.

$\{\begin{array}{l}9+a^2=10\\ 4a=4\\ a^2+1=2\end{array}\Rightarrow a=1$

Las tres condiciones se cumplen a la vez únicamente para $a=1$.



Se comprueba primero que la matriz es regular.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{cc}10& 4\\ 4& 2\end{array}\mid =20-16=4\mathrm{\ne }0$

Para una matriz de orden dos la inversa se obtiene intercambiando los elementos de la diagonal principal, cambiando de signo los de la secundaria y dividiendo entre el determinante.

$A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{4}}\left(\begin{array}{cc}2& -4\\ -4& 10\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{2}}& -1\\ -1& {\displaystyle \frac{5}{2}}\end{array}\right)$

La inversa de $A$ es la matriz anterior, como se comprueba verificando $A\cdot A^{-1}=I$.



Se despeja la incógnita matricial multiplicando por la izquierda por la inversa del apartado anterior, porque el producto de matrices no es conmutativo.

$AX=C-B\Rightarrow X=A^{-1}(C-B)$

Con $a=0$ la matriz $B$ es diagonal, así que la resta es inmediata.

$C-B=\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ 1& 5\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 4\end{array}\right)$

$X=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{2}}& -1\\ -1& {\displaystyle \frac{5}{2}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-{\displaystyle \frac{1}{2}}& -{\displaystyle \frac{7}{2}}\\ {\displaystyle \frac{3}{2}}& 9\end{array}\right)$

La solución de la ecuación matricial es la matriz $X$ anterior, como se comprueba sustituyendo en $AX=C-B$.