Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Cuestión 1. (2,5 puntos) Sean las matrices: $A=\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ 3& 0\end{array}\right)$ y $B=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 6& 1\end{array}\right)$.
a) Calcular el valor de $a$ y $b$ para que se cumpla: $AB=BA$. (1,5 puntos)
b) Para $a=1$ y $b=0$, resuelve la ecuación: $XB-A=I$, siendo $I=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$. (1 punto)

Se calculan los dos productos, que en general no coinciden porque el producto de matrices no es conmutativo.

$AB=\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ 3& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 6& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}12& 2\\ 3a& 3b\end{array}\right)$

$BA=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 6& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ 3& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3b& 2a\\ 3& 12\end{array}\right)$

Se igualan elemento a elemento las dos matrices.

$\{\begin{array}{l}12=3b\\ 2=2a\\ 3a=3\\ 3b=12\end{array}\Rightarrow a=1;b=4$

Las cuatro condiciones son compatibles, de modo que las matrices conmutan únicamente para $a=1$ y $b=4$.



Como la incógnita multiplica a $B$ por la derecha, hay que multiplicar por $B^{-1}$ también por la derecha.

$XB=I+A\Rightarrow X=(I+A)B^{-1}$

$I+A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 1\end{array}\right)$

Con $a=1$ y $b=0$ la matriz $B$ es triangular y su determinante vale $1$, luego es regular.

$B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 6& 1\end{array}\right);B^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -6& 1\end{array}\right)$

$X=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -6& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-11& 2\\ -3& 1\end{array}\right)$

La solución de la ecuación matricial es $X=\left(\begin{array}{cc}-11& 2\\ -3& 1\end{array}\right)$, como se comprueba verificando que $XB-A=I$.