Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Pregunta 1. Sean las matrices $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& -m\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}1& m\\ -1& 1\end{array}\right),C=\left(\begin{array}{cc}0& 2m\\ -2m& -1\end{array}\right),D=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)\text{y}E=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)\mathrm{.}$
a) [1 punto] Si $(A\cdot B-C)\cdot D=E,$ plantea un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas (representadas por $x$ e $y$) en función del parámetro $m$.
b) [1.5 puntos] ¿Para qué valores de $m$ el sistema anterior tiene solución? En caso de existir solución, ¿es siempre única? Resuelve el sistema para $m=-1$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{(A}}\mathbf{\text{B}}\mathbf{\text{-}}\mathbf{\text{C)}}\mathbf{\text{D}}\mathbf{\text{=}}\mathbf{\text{E,}}\mathbf{\text{plantea}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{ecuaciones}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{inc}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{gnitas}}\mathbf{\text{(representadas}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{x}}\mathbf{\text{e}}\mathbf{\text{y)}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathbf{\text{m.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

En el cuadernillo oficial la segunda fila de $A$ es $(-1m)$; el texto de arriba la ha transcrito como $(1-m)$. Se trabaja con la matriz oficial:

$A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ -1& m\end{array}\right)$

Se empieza por el producto de las dos matrices sin incógnitas:

$A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ -1& m\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& m\\ -1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2-1& 2m+1\\ -1-m& -m+m\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 2m+1\\ -1-m& 0\end{array}\right)$

Ahora se resta $C$, y aquí se simplifica casi todo:

$A\cdot B-C=\left(\begin{array}{cc}1& 2m+1\\ -1-m& 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}0& 2m\\ -2m& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ m-1& 1\end{array}\right)$

Multiplicando por $D$ e igualando a $E$:

$\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ m-1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x+y\\ (m-1)x+y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$

de donde sale el sistema

$\{\begin{array}{rcl}x+y& =& 1\\ (m-1)x+y& =& 1\end{array}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Para}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{m}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{anterior}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{soluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n?}}\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{caso}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{existir}}\mathbf{\text{soluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n,}}\mathbf{\text{¿es}}\mathbf{\text{siempre}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{nica?}}\mathbf{\text{Resuelve}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{m}}\mathbf{\text{=}}\mathbf{\text{-1.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El determinante de la matriz de coeficientes es

$\mid \begin{array}{cc}1& 1\\ m-1& 1\end{array}\mid =1-(m-1)=2-m$

que se anula únicamente para $m=2$. Hay dos casos.

$\mathbf{\text{Si}}m\mathrm{\ne }2$: el sistema es compatible determinado y la solución es única. Restando la primera ecuación de la segunda:

$(m-2)x=0⟹x=0y=1$

Es un resultado curioso: la solución no depende de $m$.

$\mathbf{\text{Si}}m=2$: las dos ecuaciones se convierten en $x+y=1$, la misma repetida. El sistema es compatible indeterminado y tiene infinitas soluciones, todas las de esa recta.

En resumen, el sistema $\mathbf{\text{siempre}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{soluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}$, pero solo es única si $m\mathrm{\ne }2$.

Para $m=-1$ el determinante vale $2-(-1)=3\mathrm{\ne }0$ y el sistema es

$\{\begin{array}{rcl}x+y& =& 1\\ -2x+y& =& 1\end{array}$

Restando: $-3x=0$, luego $\mathbf{\text{x}}=0$ e $\mathbf{\text{y}}=1$, como anticipaba el caso general.