Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Pregunta 1. Sean las matrices A = $\left(\begin{array}{cc}-m& m-2\\ 2m& 2& \end{array}\right)$, B = $\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 2m\end{array}\right)$, C = $\left(\begin{array}{cc}m& 2\\ -1& 0\end{array}\right)$, D = $\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$ y E = $\left(\begin{array}{c}1\\ m\end{array}\right)$.
a) [1.25 puntos] Si $\frac{1}{3}(A\cdot B-C)\cdot D=E$, plantea un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas (representadas por $x$ e $y$) en función del parámetro $m$.
b) [1.25 puntos] ¿Para qué valores de $m$ el sistema anterior tiene solución? En caso de existir solución, ¿es siempre única? Encuentra, si es posible, la solución para $m=1$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Plantea}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{ecuaciones}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{inc}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{gnitas}}\mathbf{\text{(representadas}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{x}}\mathbf{\text{e}}\mathbf{\text{y)}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathbf{\text{m.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El cuadernillo oficial pide resolver $\frac{1}{3}(A+B\cdot C)\cdot D=E$; el texto de arriba lo ha transcrito con un producto y una resta donde el original tiene una suma. Se trabaja con la versión oficial.

Se empieza por el producto de las dos matrices que no llevan incógnitas:

$B\cdot C=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 2m\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}m& 2\\ -1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}m+1& 2\\ m-2m& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}m+1& 2\\ -m& 2\end{array}\right)$

Ahora se suma $A$, y es aquí donde se simplifica casi todo:

$A+B\cdot C=\left(\begin{array}{cc}-m& m-2\\ 2m& 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}m+1& 2\\ -m& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& m\\ m& 4\end{array}\right)$

Multiplicando por $\frac{1}{3}$ y por $D$, e igualando a $E$:

$\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}1& m\\ m& 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ m\end{array}\right)$

Multiplicando los dos miembros por 3 queda el sistema

$\{\begin{array}{rcrcl}x& +& my& =& 3\\ mx& +& 4y& =& 3m\end{array}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Para}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{m}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{anterior}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{soluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n?}}\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{caso}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{existir}}\mathbf{\text{soluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n,}}\mathbf{\text{¿es}}\mathbf{\text{siempre}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{nica?}}\mathbf{\text{Encuentra,}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{posible,}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{soluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{m}}\mathbf{\text{=}}\mathbf{\text{1.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El determinante de la matriz de coeficientes es

$\mid \begin{array}{cc}1& m\\ m& 4\end{array}\mid =4-m^2=(2-m)(2+m)$

que se anula para $m=2$ y $m=-2$. Hay tres casos.

$\mathbf{\text{Si}}m\mathrm{\ne }2\mathbf{\text{y}}m\mathrm{\ne }-2$: el sistema es compatible determinado y la solución es única.

$\mathbf{\text{Si}}m=2$: las ecuaciones son $x+2y=3$ y $2x+4y=6$; la segunda es la primera multiplicada por 2. Compatible indeterminado, con infinitas soluciones.

$\mathbf{\text{Si}}m=-2$: las ecuaciones son $x-2y=3$ y $-2x+4y=-6$; otra vez la segunda es la primera multiplicada por $-2$. También compatible indeterminado.

Así que el sistema $\mathbf{\text{siempre}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{soluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}$, pero solo es única si $m\mathrm{\ne }\pm 2$.

Para $m=1$ el determinante vale 3 y el sistema es

$\{\begin{array}{rcrcl}x& +& y& =& 3\\ x& +& 4y& =& 3\end{array}$

Restando la primera de la segunda:

$3y=0⟹y=0x=3$

La solución es $\mathbf{\text{x}}=3$, $\mathbf{\text{y}}=0$.