Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

B.1 [hasta 2,5 puntos]

a) [1,25 puntos] Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
$\left(\begin{array}{ccc}3& 1-2x& 0\\ 2& x+1& 2\\ 0& 1& z\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}y\\ 2\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 0\end{array}\right)$
b) [1,25 puntos] Dada la matriz $A=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 4& 5\end{array}\right)$, calcula la matriz:
$M=A^t\cdot A^{-1}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{Resuelve}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{siguiente}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ecuaciones}}\mathbf{\text{lineales.}}$

Aunque el enunciado lo presente en forma matricial, lo que hay es un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: se efectúa el producto de matrices y se iguala componente a componente.

$\left(\begin{array}{ccc}3& 1-2x& 0\\ 2& x+1& 2\\ 0& 1& z\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}y\\ 2\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3y+2(1-2x)+0\\ 2y+2(x+1)+2\\ 0+2+z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 0\end{array}\right)$

$\{\begin{array}{l}3y+2-4x=-1\\ 2y+2x+2+2=2\\ 2+z=0\end{array}$

Se ordena cada ecuación:

$\{\begin{array}{l}-4x+3y=-3\\ 2x+2y=-2\\ z=-2\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}-4x+3y=-3\\ x+y=-1\\ z=-2\end{array}$

La tercera ecuación ya da $z$. De la segunda se despeja $x$ y se sustituye en la primera.

$x=-1-y$

$-4(-1-y)+3y=-3\Rightarrow 4+4y+3y=-3\Rightarrow 7y=-7\Rightarrow y=-1$

$x=-1-(-1)=0$

Se comprueba la solución en las tres ecuaciones:

$\{\begin{array}{l}-4\cdot 0+3(-1)=-3\\ 0+(-1)=-1\\ z=-2\end{array}$

La solución del sistema es $x=0$, $y=-1$, $z=-2$.



Primero se comprueba que la matriz es invertible calculando su determinante.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{cc}2& 3\\ 4& 5\end{array}\mid =2\cdot 5-3\cdot 4=10-12=-2\mathrm{\ne }0$

Se calcula la traspuesta y la inversa por la matriz adjunta.

$A^t=\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ 3& 5\end{array}\right)$

$A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }}}{\left(\text{Adj}A\right)}^t={\displaystyle \frac{1}{-2}}\left(\begin{array}{cc}5& -3\\ -4& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-\frac{5}{2}& \frac{3}{2}\\ 2& -1\end{array}\right)$

Se multiplican las dos matrices en el orden indicado, que importa porque el producto de matrices no es conmutativo.

$M=A^t\cdot A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ 3& 5\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-\frac{5}{2}& \frac{3}{2}\\ 2& -1\end{array}\right)$

$M=\left(\begin{array}{cc}2(-\frac{5}{2})+4\cdot 2& 2\cdot \frac{3}{2}+4(-1)\\ 3(-\frac{5}{2})+5\cdot 2& 3\cdot \frac{3}{2}+5(-1)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ \frac{5}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)$

Como comprobación, el determinante de $M$ ha de valer la unidad, ya que una matriz y su traspuesta tienen el mismo determinante y el de la inversa es su inverso.

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }{A}^t\mathrm{\mid }\cdot \mathrm{\mid }{A}^{-1}\mathrm{\mid }=(-2)\cdot (-{\displaystyle \frac{1}{2}})=1$

La matriz pedida es $M=\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ \frac{5}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)$.