Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

B.1. [hasta 2,5 puntos]
Se consideran las matrices $A=\left(\begin{array}{cc}-1& 2\\ 0& -7\end{array}\right)$ y $B=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& -1\end{array}\right)$

a) [0,75 puntos] ¿Se verifica la igualdad $(A+B{)}^2=A^2+2A\cdot B+B^2$? Razona la respuesta.
b) [1,75 puntos] Resolver la ecuación matricial:
$X\cdot A=2B^t+I_2$

Al desarrollar el cuadrado de una suma de matrices aparecen los dos productos cruzados por separado, porque el producto de matrices no es conmutativo en general.

$(A+B{)}^2=(A+B)(A+B)=A^2+A\cdot B+B\cdot A+B^2$

La igualdad del enunciado se cumple si y solo si $A\cdot B=B\cdot A$, así que basta comprobar si estas dos matrices conmutan.

$A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}-1& 2\\ 0& -7\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-2& -3\\ 0& 7\end{array}\right)$

$B\cdot A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-1& 2\\ 0& -7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-2& -3\\ 0& 7\end{array}\right)$

$A\cdot B=B\cdot A$

Se comprueba además directamente el resultado:

$(A+B{)}^2={\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 0& -8\end{array}\right)}^2=\left(\begin{array}{cc}1& -21\\ 0& 64\end{array}\right)$

$A^2+2A\cdot B+B^2=\left(\begin{array}{cc}1& -16\\ 0& 49\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}-4& -6\\ 0& 14\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& -21\\ 0& 64\end{array}\right)$

Sí se verifica la igualdad, pero no por una propiedad general de las matrices, sino porque estas dos en concreto conmutan. Con otras dos matrices cualesquiera la identidad sería falsa.



La incógnita multiplica a $A$ por la izquierda, de modo que hay que multiplicar por $A^{-1}$ por la derecha.

$X\cdot A\cdot A^{-1}=(2B^t+I_2)A^{-1}\Rightarrow X=(2B^t+I_2)A^{-1}$

i) Se calcula el segundo miembro.

$B^t=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 1& -1\end{array}\right)\Rightarrow 2B^t+I_2=\left(\begin{array}{cc}4& 0\\ 2& -2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5& 0\\ 2& -1\end{array}\right)$

ii) Se calcula la inversa de $A$, que existe porque su determinante no es nulo.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{cc}-1& 2\\ 0& -7\end{array}\mid =7-0=7\mathrm{\ne }0$

$A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{7}}\left(\begin{array}{cc}-7& -2\\ 0& -1\end{array}\right)$

iii) Se multiplica para obtener la incógnita.

$X=\left(\begin{array}{cc}5& 0\\ 2& -1\end{array}\right)\cdot {\displaystyle \frac{1}{7}}\left(\begin{array}{cc}-7& -2\\ 0& -1\end{array}\right)={\displaystyle \frac{1}{7}}\left(\begin{array}{cc}-35& -10\\ -14& -3\end{array}\right)$

$X=\left(\begin{array}{cc}-5& -\frac{10}{7}\\ -2& -\frac{3}{7}\end{array}\right)$

Se comprueba el resultado sustituyendo en la ecuación de partida:

$X\cdot A=\left(\begin{array}{cc}-5& -\frac{10}{7}\\ -2& -\frac{3}{7}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-1& 2\\ 0& -7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5& 0\\ 2& -1\end{array}\right)=2B^t+I_2$

La solución de la ecuación matricial es $X=\left(\begin{array}{cc}-5& -\frac{10}{7}\\ -2& -\frac{3}{7}\end{array}\right)$.