Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

B.1 [hasta 2,5 puntos]
Sean las matrices $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}1& x\\ x& 0\end{array}\right)$ y $C=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ -1& 2\end{array}\right)$

a) [0,75 puntos] Encuentra el valor o valores de $x$ para que se cumpla la igualdad:
$B^2=A$
b) [1 punto] Igualmente, para que se cumpla:
$B+C=A^{-1}$
c) [0,75 puntos] Determina el valor de $x$ para que $A+B+C=3\cdot I_2$, donde $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$.

En los tres apartados se opera con las matrices y después se igualan elemento a elemento, porque dos matrices son iguales si y solo si coinciden todos sus elementos.



Se calcula primero el cuadrado de la matriz $B$.

$B^2=\left(\begin{array}{cc}1& x\\ x& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& x\\ x& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1+x^2& x\\ x& x^2\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{cc}1+x^2& x\\ x& x^2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right)\Rightarrow \{\begin{array}{l}1+x^2=2\\ x=1\\ x^2=1\end{array}$

La segunda ecuación ya determina el valor, y las otras dos lo confirman:

$x=1\Rightarrow 1+1^2=2\text{y}{1}^2=1$

La igualdad se cumple únicamente para $x=1$.



Se calcula la inversa de $A$, que existe porque su determinante no es nulo.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\mid =2-1=1\mathrm{\ne }0$

$A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }}}{\left(\text{Adj}A\right)}^t={\displaystyle \frac{1}{1}}\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 2\end{array}\right)$

Se suman ahora las matrices del primer miembro.

$B+C=\left(\begin{array}{cc}1& x\\ x& 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ -1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& x-1\\ x-1& 2\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{cc}1& x-1\\ x-1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 2\end{array}\right)\Rightarrow x-1=-1\Rightarrow x=0$

Los elementos de la diagonal coinciden sin condición alguna, de modo que la igualdad se cumple únicamente para $x=0$.



Se suman las tres matrices y se compara con el segundo miembro.

$A+B+C=\left(\begin{array}{cc}2+1+0& 1+x-1\\ 1+x-1& 1+0+2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& x\\ x& 3\end{array}\right)$

$3\cdot I_2=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 3\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{cc}3& x\\ x& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 3\end{array}\right)\Rightarrow x=0$

De nuevo la diagonal se cumple por sí sola, y la igualdad se da únicamente para $x=0$.