Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

B 1 [hasta 2,5 puntos]
Sean las matrices $A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 2\\ 1& 2& 3\end{array}\right)$ y $B=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& -1\end{array}\right)$.

a) [1,25 puntos] Calcular la inversa de la matriz $(A\cdot A^t)$.
b) [0,75 puntos] ¿Admite inversa la matriz $(A^t\cdot A)$?
c) [0,5 puntos] Calcular, cuando sea posible:
$A\cdot B\text{y}{A}^t\cdot B$

Antes de operar conviene anotar la dimensión de cada matriz, porque es lo que decide qué productos se pueden hacer.

$A_{2\times 3},A_{3\times 2}^t,B_{2\times 2}$



El producto $A\cdot A^t$ es de dimensión $2\times 2$, de modo que puede tener inversa.

$A\cdot A^t=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 2\\ 1& 2& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 2\\ 2& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5& 8\\ 8& 14\end{array}\right)$

$\mid A\cdot A^t\mid =5\cdot 14-8\cdot 8=70-64=6\mathrm{\ne }0$

Existe la inversa y se calcula por el método de la matriz adjunta.

${(A\cdot A^t)}^{-1}={\displaystyle \frac{1}{6}}\left(\begin{array}{cc}14& -8\\ -8& 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{7}{3}& -\frac{4}{3}\\ -\frac{4}{3}& \frac{5}{6}\end{array}\right)$



Ahora el producto es de dimensión $3\times 3$, así que también es cuadrado, pero eso no basta.

$A^t\cdot A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 2\\ 2& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 2\\ 1& 2& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 5& 8\\ 3& 8& 13\end{array}\right)$

$\mid A^t\cdot A\mid =(65+48+48)-(45+64+52)=161-161=0$

El determinante es nulo, de modo que la matriz $A^t\cdot A$ no admite inversa. Era previsible: el rango de $A$ no puede pasar de $2$, y el del producto tampoco, así que una matriz $3\times 3$ construida así nunca llega a rango $3$.



Se comprueba en cada caso si las dimensiones encajan.

$A_{2\times 3}\cdot B_{2\times 2}$

El número de columnas de $A$ es $3$ y el de filas de $B$ es $2$, de modo que el producto $A\cdot B$ no se puede efectuar.

$A_{3\times 2}^t\cdot B_{2\times 2}={\left(A^{t}B\right)}_{3\times 2}$

$A^t\cdot B=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 2\\ 2& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 2& -1\\ 4& -1\end{array}\right)$

El producto $A\cdot B$ no está definido, y $A^t\cdot B=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 2& -1\\ 4& -1\end{array}\right)$.