Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

EJERCICIO 1. Álgebra.
Sean las matrices $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 2& -1\end{array}\right)$ y $B=\left(\begin{array}{cc}-2& -1\\ 1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)$

a) Calcule la matriz $A^t$ (siendo $A^t$ la matriz transpuesta de A) y calcule la matriz A·B.
b) Calcule la matriz $X=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ que cumple A·B·X=C+I donde $C=\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ 0& -1\end{array}\right)$ e I es la matriz identidad 2x2.

La traspuesta se obtiene cambiando filas por columnas.

$A^t=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 2\\ 3& -1\end{array}\right)$

Para el producto, $A$ es de orden $2\times 3$ y $B$ de orden $3\times 2$, de modo que $A\cdot B$ es una matriz cuadrada de orden 2.

$A\cdot B=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 2& -1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}-2& -1\\ 1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)$

$A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}-2+2+3& -1+0+3\\ 0+2-1& 0+0-1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 1& -1\end{array}\right)$



Despejamos $X$ multiplicando por la inversa de $A\cdot B$ por la izquierda, que es el lado por el que multiplica.

$(A\cdot B)\cdot X=C+I\Rightarrow X=(A\cdot B{)}^{-1}\cdot (C+I)$

$C+I=\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ 0& -1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& -2\\ 0& 0\end{array}\right)$

$\mathrm{\mid }A\cdot B\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{cc}3& 2\\ 1& -1\end{array}\mid =-3-2=-5\mathrm{\ne }0$

Al ser el determinante distinto de cero, existe la inversa. Para una matriz de orden 2 se intercambian los elementos de la diagonal principal y se cambia el signo de los de la secundaria.

$(A\cdot B{)}^{-1}=-{\displaystyle \frac{1}{5}}\left(\begin{array}{cc}-1& -2\\ -1& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{5}& \frac{2}{5}\\ \frac{1}{5}& -\frac{3}{5}\end{array}\right)$

$X=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{5}& \frac{2}{5}\\ \frac{1}{5}& -\frac{3}{5}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}2& -2\\ 0& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{2}{5}& -\frac{2}{5}\\ \frac{2}{5}& -\frac{2}{5}\end{array}\right)$

La matriz buscada es $X=\left(\begin{array}{cc}\frac{2}{5}& -\frac{2}{5}\\ \frac{2}{5}& -\frac{2}{5}\end{array}\right)$, es decir, $a=c=\frac{2}{5}$ y $b=d=-\frac{2}{5}$.