Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

EJERCICIO 1. Álgebra.
Dadas las matrices
$A=\left(\begin{array}{ccc}m& 4& 4\\ 0& 2& 4\\ 0& 0& 1\end{array}\right)B=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 2\\ 1& 0& 1\end{array}\right)C=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 2& -1\end{array}\right)$

a) Determine para que valores de m existe la matriz inversa de A.
b) Despeje la matriz X tal que X·A+B= C y calcúlela para m=1.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{m}}\mathbf{\text{existe}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{matriz}}\mathbf{\text{inversa}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{A.}}$

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero. Al ser $A$ triangular superior, su determinante es el producto de los elementos de la diagonal principal.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}m& 4& 4\\ 0& 2& 4\\ 0& 0& 1\end{array}\mid =m\cdot 2\cdot 1=2m$

$2m=0\Rightarrow m=0$

La matriz $A$ tiene inversa para todo valor real de $m$ distinto de 0.



En la ecuación la incógnita multiplica a $A$ por la izquierda, así que hay que multiplicar por $A^{-1}$ por la derecha.

$X\cdot A=C-B\Rightarrow X=(C-B)\cdot A^{-1}$

$C-B=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 2& -1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 2\\ 1& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-1& 2& -1\\ 0& 2& -2\end{array}\right)$

Para $m=1$ el determinante vale 2, así que existe la inversa. La calculamos por el método de los adjuntos.

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 4& 4\\ 0& 2& 4\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

$\mathrm{Adj}(A)=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ -4& 1& 0\\ 8& -4& 2\end{array}\right)\Rightarrow (\mathrm{Adj}(A){)}^t=\left(\begin{array}{ccc}2& -4& 8\\ 0& 1& -4\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$

$A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{ccc}2& -4& 8\\ 0& 1& -4\\ 0& 0& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 4\\ 0& \frac{1}{2}& -2\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

$X=\left(\begin{array}{ccc}-1& 2& -1\\ 0& 2& -2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}1& -2& 4\\ 0& \frac{1}{2}& -2\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-1& 3& -9\\ 0& 1& -6\end{array}\right)$

La matriz buscada es $X=\left(\begin{array}{ccc}-1& 3& -9\\ 0& 1& -6\end{array}\right)$.