Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

EJERCICIO 1. Álgebra.
Dadas las matrices
$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 2\\ 1& 1& 1\\ 1& 0& 1\end{array}\right)B=\left(\begin{array}{ccc}0& 2& 3\\ 1& 2& 3\\ -3& 3& 6\end{array}\right)$

a) Calcule las matrices $A^2-B$ y $A-I$, en donde $I$ representa la matriz identidad de orden 3.
b) Calcule, si es posible, la inversa de la matriz $A-I$.
c) Despeje $X$ en la ecuación matricial $X\cdot A+B=A^2+X$ y calcule su valor.

Empezamos por el cuadrado de $A$, que es el producto de la matriz por sí misma.

$A^2=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 2\\ 1& 1& 1\\ 1& 0& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}0& 1& 2\\ 1& 1& 1\\ 1& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}3& 1& 3\\ 2& 2& 4\\ 1& 1& 3\end{array}\right)$

$A^2-B=\left(\begin{array}{ccc}3& 1& 3\\ 2& 2& 4\\ 1& 1& 3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}0& 2& 3\\ 1& 2& 3\\ -3& 3& 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}3& -1& 0\\ 1& 0& 1\\ 4& -2& -3\end{array}\right)$

$A-I=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 2\\ 1& 1& 1\\ 1& 0& 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 2\\ 1& 0& 1\\ 1& 0& 0\end{array}\right)$



Comprobamos primero que el determinante no se anula, desarrollando por la tercera fila, que tiene dos ceros.

$\mathrm{\mid }A-I\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}-1& 1& 2\\ 1& 0& 1\\ 1& 0& 0\end{array}\mid =1\cdot \mid \begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\mid =1\mathrm{\ne }0$

Existe la inversa. La calculamos por el método de los adjuntos.

$\mathrm{Adj}(A-I)=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& -2& 1\\ 1& 3& -1\end{array}\right)\Rightarrow (\mathrm{Adj}(A-I){)}^t=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 1& -2& 3\\ 0& 1& -1\end{array}\right)$

$(A-I{)}^{-1}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\mid }A-I\mathrm{\mid }}}(\mathrm{Adj}(A-I){)}^t=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 1& -2& 3\\ 0& 1& -1\end{array}\right)$



Agrupamos a un lado los términos con $X$ y sacamos factor común por la derecha, que es el lado por el que $A$ multiplica.

$X\cdot A-X=A^2-B\Rightarrow X(A-I)=A^2-B$

$X=(A^2-B)\cdot (A-I{)}^{-1}$

$X=\left(\begin{array}{ccc}3& -1& 0\\ 1& 0& 1\\ 4& -2& -3\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 1& -2& 3\\ 0& 1& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-1& 2& 0\\ 0& 1& 0\\ -2& 1& 1\end{array}\right)$

La matriz solución de la ecuación es $X=\left(\begin{array}{ccc}-1& 2& 0\\ 0& 1& 0\\ -2& 1& 1\end{array}\right)$.