Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

A.1. (2 puntos)

Se considera la matriz $A$ dada por

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 2& 1& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right)$.

a) Estudie si la matriz $A$ es invertible y, en caso afirmativo, calcule su inversa.
b) Determíne la matriz $X$ tal que

$A\cdot X=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Estudie}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{matriz}}\mathit{A}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{invertible}}\mathbf{\text{y,}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{caso}}\mathbf{\text{afirmativo,}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{inversa.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 2& 1& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\mid =1+0+0-1-0+2=2\mathrm{\ne }0$

La matriz es invertible. La calculamos por el método de los adjuntos, $A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }}}{(\mathrm{Adj}(A))}^t$.

$\mathrm{Adj}(A)=\left(\begin{array}{ccc}1& -2& -1\\ 1& 0& -1\\ -1& 2& 3\end{array}\right)\Rightarrow {(\mathrm{Adj}(A))}^t=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ -2& 0& 2\\ -1& -1& 3\end{array}\right)$

$A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ -2& 0& 2\\ -1& -1& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{1}{2}}& {\displaystyle \frac{1}{2}}& -{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ -1& 0& 1\\ -{\displaystyle \frac{1}{2}}& -{\displaystyle \frac{1}{2}}& {\displaystyle \frac{3}{2}}\end{array}\right)$



Como $A$ multiplica por la izquierda, despejamos multiplicando por su inversa también por la izquierda.

$A^{-1}(AX)=A^{-1}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)\Rightarrow X=A^{-1}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)$

$X=\left(\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{1}{2}}& {\displaystyle \frac{1}{2}}& -{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ -1& 0& 1\\ -{\displaystyle \frac{1}{2}}& -{\displaystyle \frac{1}{2}}& {\displaystyle \frac{3}{2}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ 0\\ {\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right)$

La matriz buscada es $X={({\displaystyle \frac{1}{2}},0,{\displaystyle \frac{1}{2}})}^t$, como se comprueba al multiplicar $A\cdot X$.