Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

1. (2 puntos)

Se consideran las matrices $M,PyN$ dadas por:

$M=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& 1\end{array}\right)P=\left(\begin{array}{c}-1\\ -3\end{array}\right)N=\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right)$

a) Determine los valores de los parámetros $a,b,c\in \mathbb{R}$ para los que se verifica: $M\cdot N=2N$ y $(N^t\cdot M{)}^t+M\cdot P=N$
b) Para $a=0,b=-1yc=-2$. Compruebe que $M^2=M+2I$, donde $I$ denota la matriz identidad de tamaño $2\times 2$, y utilice dicha igualdad para calcular $M^{-1}y{M}^3$.

Operamos la primera igualdad e igualamos las matrices elemento a elemento.

$M\cdot N=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-a+2b\\ -c+2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\end{array}\right)$

$\{\begin{array}{l}-a+2b=-2\\ -c+2=4\Rightarrow c=-2\end{array}$

Pasamos a la segunda igualdad. Como $(N^{t}M{)}^t=M^{t}N$, basta trasponer la matriz antes de multiplicar.

$M^{t}N+MP=\left(\begin{array}{cc}a& c\\ b& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}-1\\ -3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{c}-a+2c\\ -b+2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}-a-3b\\ -c-3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2a+2c-3b\\ -b-c-1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right)$

De la segunda componente, con $c=-2$, sale el segundo parámetro.

$-b-c-1=2\Rightarrow -b+2-1=2\Rightarrow b=-1$

Y sustituyendo en $-a+2b=-2$ obtenemos el tercero.

$-a-2=-2\Rightarrow a=0$

Los valores que verifican las dos igualdades son $a=0$, $b=-1$ y $c=-2$; se comprueba que también cumplen $-2a+2c-3b=-1$.



Sustituimos los parámetros y elevamos al cuadrado.

$M=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ -2& 1\end{array}\right)\Rightarrow M^2=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -2& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ -2& 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)=M+2I$

Para la inversa despejamos la identidad de esa igualdad, sacando $M$ como factor común.

$M^2-M=2I\Rightarrow M(M-I)=2I\Rightarrow M\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}(M-I)=I$

$M^{-1}={\displaystyle \frac{1}{2}}(M-I)={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{cc}-1& -1\\ -2& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-{\displaystyle \frac{1}{2}}& -{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ -1& 0\end{array}\right)$

Para el cubo aplicamos dos veces la misma igualdad, sin necesidad de multiplicar matrices.

$M^3=M\cdot M^2=M(M+2I)=M^2+2M=(M+2I)+2M=3M+2I$

$M^3=3\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ -2& 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& -3\\ -6& 5\end{array}\right)$