Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

A.1. (2 puntos)

Se considera la matriz $A$ dada por

$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 6\\ 1\mathrm{/}2& 0& 0\\ 0& 1\mathrm{/}3& 0\end{array}\right)$

a) Determine $A^3$ y $A^{2023}$.
b) Estudie si la matriz $A$ es invertible y, en caso afirmativo, calcule su inversa.

Elevamos al cuadrado y volvemos a multiplicar por $A$, a ver si el resultado se repite.

$A^2={\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 6\\ \frac{1}{2}& 0& 0\\ 0& \frac{1}{3}& 0\end{array}\right)}^2=\left(\begin{array}{ccc}0& 2& 0\\ 0& 0& 3\\ \frac{1}{6}& 0& 0\end{array}\right)$

$A^3=A^2\cdot A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=I$

Al ser $A^3=I$, las potencias se repiten en ciclos de tres y basta con el resto de dividir el exponente entre 3.

$2023=3\cdot 674+1$

$A^{2023}={\left(A^3\right)}^{674}\cdot A=I\cdot A=A$

Por tanto $A^3=I$ y $A^{2023}=A$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Estudie}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{matriz}}\mathit{A}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{invertible}}\mathbf{\text{y,}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{caso}}\mathbf{\text{afirmativo,}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{inversa.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}0& 0& 6\\ \frac{1}{2}& 0& 0\\ 0& \frac{1}{3}& 0\end{array}\mid =6\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}=1\mathrm{\ne }0$

La matriz es invertible y, en lugar de calcular adjuntos, aprovechamos la igualdad del apartado anterior.

$A^3=I\Rightarrow A\cdot A^2=I\Rightarrow A^{-1}=A^2$

$A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}0& 2& 0\\ 0& 0& 3\\ \frac{1}{6}& 0& 0\end{array}\right)$

La inversa de $A$ es su propio cuadrado, como se comprueba al multiplicar $A\cdot A^2=I$.