Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

A.1. (2 puntos)

Sea $a\in \mathbb{R}$. Considere las matrices

$A=\left(\begin{array}{ccc}-a& 1& 1\\ 0& -1& 1\\ a& 1& 1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ -1& 1& 0\\ 1& 1& 2\end{array}\right),X=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right),Y=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 2\end{array}\right)$

a) Determine los valores del parámetro real $a$ para que $A$ tenga inversa.
b) Calcule, para $a=1$, la solución del sistema $(A-B)X=Y$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathbf{\text{real}}\mathit{a}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathit{A}\mathbf{\text{tenga}}\mathbf{\text{inversa.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}-a& 1& 1\\ 0& -1& 1\\ a& 1& 1\end{array}\mid =-a(-1-1)-1(0-a)+1(0+a)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=2a+a+a=4a$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0\Rightarrow a=0$

La matriz $A$ tiene inversa para todo valor real de $a$ distinto de cero.



Restamos las dos matrices con $a=1$ y comprobamos que la diferencia es invertible.

$A-B=\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 1\\ 0& -1& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ -1& 1& 0\\ 1& 1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-2& 0& 0\\ 1& -2& 1\\ 0& 0& -1\end{array}\right)$

$\mathrm{\mid }A-B\mathrm{\mid }=-2(2-0)=-4\mathrm{\ne }0$

El sistema es de Cramer, así que se resuelve despejando la matriz de incógnitas.

$(A-B)X=Y\Rightarrow X=(A-B{)}^{-1}Y$

$(A-B{)}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}-{\displaystyle \frac{1}{2}}& 0& 0\\ -{\displaystyle \frac{1}{4}}& -{\displaystyle \frac{1}{2}}& -{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ 0& 0& -1\end{array}\right)$

$X=\left(\begin{array}{ccc}-{\displaystyle \frac{1}{2}}& 0& 0\\ -{\displaystyle \frac{1}{4}}& -{\displaystyle \frac{1}{2}}& -{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ 0& 0& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ -{\displaystyle \frac{5}{4}}\\ -2\end{array}\right)$

La solución del sistema es $x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$, $y=-{\displaystyle \frac{5}{4}}$, $z=-2$.