Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Dadas las matrices

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 1\\ 2& 0& 1\end{array}\right)B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)C=\left(\begin{array}{cc}5& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$

a) Calcule, si existe, la matriz $D=(AB+I{)}^{-1}$, donde $M^{-1}$ significa la matriz inversa de $M$ e $I$ es la matriz identidad. [1 punto]

b) Obtenga, si existe, el valor de $k$ para que se verifique $A{A}^t-k{B}^{t}B=C$, donde $M^t$ representa la matriz transpuesta de la matriz $M$. [1,5 puntos]

Primero se multiplica $A$ (de tamaño $2\times 3$) por $B$ (de tamaño $3\times 2$); el resultado es una matriz cuadrada de orden dos, que es la que puede tener inversa:

$AB=\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 1\\ 2& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4& 4\\ 2& 1\end{array}\right)$

$AB+I=\left(\begin{array}{cc}4& 4\\ 2& 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5& 4\\ 2& 2\end{array}\right)$

La inversa existe si el determinante no se anula:

$\mathrm{\mid }AB+I\mathrm{\mid }=5\cdot 2-4\cdot 2=2\mathrm{\ne }0$

Para una matriz de orden dos la inversa se escribe directamente: se intercambian los elementos de la diagonal principal, se cambia el signo a los otros dos y se divide todo por el determinante:

$D=(AB+I{)}^{-1}={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{cc}2& -4\\ -2& 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ -1& \mathrm{2,5}\end{array}\right)$



Se calculan por separado los dos productos, que son ambos matrices cuadradas de orden dos:

$A{A}^t=\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 1\\ 2& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 0\\ 1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}11& 3\\ 3& 5\end{array}\right)$

$B^{t}B=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$

Se resta y se iguala a $C$ elemento a elemento:

$A{A}^t-k{B}^{t}B=\left(\begin{array}{cc}11-2k& 3-k\\ 3-k& 5-2k\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$

$11-2k=5\Rightarrow k=33-k=0\Rightarrow k=35-2k=-1\Rightarrow k=3$

Las cuatro ecuaciones dan el mismo valor, así que la igualdad sí es posible y se cumple para $k=3$.