Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Dadas las matrices $A=\left(\begin{array}{cc}5x& 4\\ -x& 0\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}3& y\\ -1& 4\end{array}\right)$, $C=\left(\begin{array}{cc}z& -1\\ 2& 0\end{array}\right)$ e $I=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ la matriz identidad de orden 2

a) Calcule, justificando la respuesta, los valores de $x$, $y$, $z$ para que se verifique la igualdad $I+A^t=B\cdot C$, siendo $A^t$ la matriz traspuesta de $A$. [2 puntos]

b) Tomando $x=1$, determine los valores de $y$ para los que $A\cdot B$ tiene inversa. [1 punto]

Dos matrices son iguales cuando lo son elemento a elemento, así que se calculan los dos miembros y se igualan las cuatro posiciones.

$A^t=\left(\begin{array}{cc}5x& -x\\ 4& 0\end{array}\right)\Rightarrow I+A^t=\left(\begin{array}{cc}1+5x& -x\\ 4& 1\end{array}\right)$

$B\cdot C=\left(\begin{array}{cc}3& y\\ -1& 4\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}z& -1\\ 2& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3z+2y& -3\\ -z+8& 1\end{array}\right)$

$\{\begin{array}{l}1+5x=3z+2y\\ -x=-3\\ 4=-z+8\\ 1=1\end{array}$

La segunda y la tercera ecuación dan directamente dos de las incógnitas.

$x=3z=4$

Se sustituyen en la primera ecuación:

$1+5\cdot 3=3\cdot 4+2y\Rightarrow 16=12+2y\Rightarrow y=2$

Los valores buscados son $x=3$, $y=2$ y $z=4$.



Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero, así que se calcula el producto y después su determinante.

$A=\left(\begin{array}{cc}5& 4\\ -1& 0\end{array}\right)\Rightarrow A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}5& 4\\ -1& 0\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}3& y\\ -1& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}11& 5y+16\\ -3& -y\end{array}\right)$

$\mathrm{\mid }A\cdot B\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{cc}11& 5y+16\\ -3& -y\end{array}\mid =-11y+3(5y+16)=4y+48$

$4y+48\mathrm{\ne }0\Rightarrow y\mathrm{\ne }-12$

La matriz $A\cdot B$ tiene inversa para cualquier valor de $y$ distinto de $-12$.