Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

PREGUNTA 2. ÁLGEBRA. (2 puntos)

Dadas las matrices

$A=\left(\begin{array}{cc}c& d\\ 3& 1\end{array}\right)$ y $B=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$

Responda estos dos apartados: 2.1. y 2.2.

2.1. Determine los valores de $c$ y $d$ para que $A\cdot B=B\cdot A$.

2.2. Para $c=2$ y $d=0$, despeje la matriz $X$ en la ecuación matricial $B\cdot X-A^t=X$, donde $A^t$ es la matriz traspuesta de $A$. A continuación, calcule $X$.

$\mathbf{\text{2.1.}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}c\mathbf{\text{y}}d\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}A\cdot B=B\cdot A\mathbf{\text{.}}$

El producto de matrices no es conmutativo en general, así que hay que calcular los dos productos y ver qué condiciones sobre $c$ y $d$ los igualan.

$A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}c& d\\ 3& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-d& c\\ -1& 3\end{array}\right)$

$B\cdot A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}c& d\\ 3& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ -c& -d\end{array}\right)$

Dos matrices son iguales cuando lo son todos sus elementos, uno a uno:

$\{\begin{array}{lcl}-d=3& \Rightarrow & d=-3\\ c=1& \Rightarrow & c=1\\ -1=-c& \Rightarrow & c=1\\ 3=-d& \Rightarrow & d=-3\end{array}$

Las cuatro ecuaciones son compatibles y solo dan dos condiciones distintas, repetidas dos veces cada una:

$\boxed{{\displaystyle c=1,d=-3}}$

Comprobación con esos valores, es decir, con $A=\left(\begin{array}{cc}1& -3\\ 3& 1\end{array}\right)$:

$A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ -1& 3\end{array}\right)=B\cdot A$

$\mathbf{\text{2.2.}}\mathbf{\text{Para}}c=2\mathbf{\text{y}}d=0\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{despeje}}X\mathbf{\text{en}}B\cdot X-A^t=X\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{calc}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{lela.}}$

Con esos valores la matriz $A$ y su traspuesta son:

$A=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 3& 1\end{array}\right)A^t=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 0& 1\end{array}\right)$

$\mathbf{\text{Despeje.}}$ Se agrupan a un lado los términos que llevan $X$, teniendo cuidado de no dividir por matrices, que es una operación que no existe:

$B\cdot X-A^t=X⟹B\cdot X-X=A^t$

Para sacar factor común $X$ por la derecha hay que escribir el segundo sumando como $I\cdot X$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 2:

$B\cdot X-I\cdot X=A^t⟹(B-I)\cdot X=A^t$

Si la matriz $B-I$ tiene inversa, se multiplican los dos miembros por ella $\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{izquierda}}$, que es el lado por el que está multiplicando:

$X=(B-I{)}^{-1}\cdot A^t$

$\mathbf{\text{C}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{lculo.}}$ Primero la matriz $B-I$ y su determinante:

$B-I=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ -1& -1\end{array}\right)$

$\mathrm{\mid }B-I\mathrm{\mid }=(-1)(-1)-(1)(-1)=1+1=2\mathrm{\ne }0$

Como no es nulo, la inversa existe. Para una matriz $2\times 2$ se obtiene intercambiando los elementos de la diagonal principal, cambiando de signo los de la secundaria y dividiendo por el determinante:

$(B-I{)}^{-1}={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{cc}-1& -1\\ 1& -1\end{array}\right)$

Ya solo queda el producto:

$X={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{cc}-1& -1\\ 1& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 0& 1\end{array}\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{cc}-2& -4\\ 2& 2\end{array}\right)$

$\boxed{{\displaystyle X=\left(\begin{array}{cc}-1& -2\\ 1& 1\end{array}\right)}}$

Comprobación en la ecuación de partida:

$B\cdot X=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-1& -2\\ 1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$

$B\cdot X-A^t=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& -2\\ 1& 1\end{array}\right)=X$