Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

a) Calcule las matrices $X$ e $Y$ que verifican el siguiente sistema de ecuaciones matriciales: [2 puntos]

$\{\begin{array}{l}2X-3Y=\left(\begin{array}{ccc}9& -1& -11\\ 4& -6& -16\end{array}\right)\\ 5X+2Y=\left(\begin{array}{ccc}32& 26& 20\\ 29& 23& 17\end{array}\right)\end{array}$

b) Dadas las matrices $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ -1& 1& 2\\ -1& 2& m\end{array}\right)$ y $B=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& -1\\ 2& m-1& 0\\ 3& 2& 0\end{array}\right)$, determine para qué valores de $m$ no existe la inversa de $A+B$. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{matrices}}\mathit{X}\mathbf{\text{e}}\mathit{Y}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{verifican}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{siguiente}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ecuaciones}}\mathbf{\text{matriciales:}}\mathbf{\text{[2}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Es un sistema lineal de dos ecuaciones con dos matrices incógnita, y se resuelve por reducción igual que si fueran números. Se multiplica la primera ecuación por 2 y la segunda por 3 para que los coeficientes de $Y$ sean opuestos.

$\{\begin{array}{l}4X-6Y=\left(\begin{array}{ccc}18& -2& -22\\ 8& -12& -32\end{array}\right)\\ 15X+6Y=\left(\begin{array}{ccc}96& 78& 60\\ 87& 69& 51\end{array}\right)\end{array}$

Sumando las dos ecuaciones desaparece $Y$.

$19X=\left(\begin{array}{ccc}114& 76& 38\\ 95& 57& 19\end{array}\right)\Rightarrow X={\displaystyle \frac{1}{19}}\left(\begin{array}{ccc}114& 76& 38\\ 95& 57& 19\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}6& 4& 2\\ 5& 3& 1\end{array}\right)$

Se lleva $X$ a la primera ecuación de partida y se despeja $Y$.

$3Y=2X-\left(\begin{array}{ccc}9& -1& -11\\ 4& -6& -16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}12& 8& 4\\ 10& 6& 2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}9& -1& -11\\ 4& -6& -16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}3& 9& 15\\ 6& 12& 18\end{array}\right)$

$Y=\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 5\\ 2& 4& 6\end{array}\right)$

Se comprueba en la segunda ecuación: $5X+2Y=\left(\begin{array}{ccc}30& 20& 10\\ 25& 15& 5\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}2& 6& 10\\ 4& 8& 12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}32& 26& 20\\ 29& 23& 17\end{array}\right)$.

Las matrices buscadas son $X=\left(\begin{array}{ccc}6& 4& 2\\ 5& 3& 1\end{array}\right)$ e $Y=\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 5\\ 2& 4& 6\end{array}\right)$.



Una matriz cuadrada no tiene inversa exactamente cuando su determinante es nulo, así que se calcula primero la suma y luego su determinante.

$A+B=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ -1& 1& 2\\ -1& 2& m\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}0& 1& -1\\ 2& m-1& 0\\ 3& 2& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 1& m& 2\\ 2& 4& m\end{array}\right)$

Se desarrolla por la primera fila.

$\mathrm{\mid }A+B\mathrm{\mid }=1\cdot (m^2-8)-2\cdot (m-4)+(-1)\cdot (4-2m)$

$\mathrm{\mid }A+B\mathrm{\mid }=m^2-8-2m+8-4+2m=m^2-4$

$m^2-4=0\Rightarrow m=\pm 2$

La matriz $A+B$ no tiene inversa para $m=2$ y para $m=-2$; para cualquier otro valor de $m$ sí la tiene.