Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2024

Un estudio de mercado indica que unos clientes determinados tienen un 7 % de probabilidades de comprar un producto $A$, y un 10 % de probabilidades de comprar un producto $B$.

a) Si la probabilidad de «comprar $A$ y no comprar $B$» es de un 6 %, ¿son independientes los sucesos «comprar $A$» y «comprar $B$»? [5 puntos]

b) Si los sucesos «comprar $A$» y «comprar $B$» fuesen independientes, ¿qué sería mayor: la probabilidad de «no comprar $A$», o la probabilidad de «no comprar $A$, sabiendo que se ha comprado $B$»? [5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{«comprar}}\mathit{A}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{comprar}}\mathit{B}\mathbf{\text{»}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{6}}\mathbf{\text{\%,}}\mathbf{\text{¿son}}\mathbf{\text{independientes}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{sucesos}}\mathbf{\text{«comprar}}\mathit{A}\mathbf{\text{»}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{«comprar}}\mathit{B}\mathbf{\text{»?}}\mathbf{\text{[5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Llamamos $A$ al suceso «comprar el producto $A$» y $B$ al suceso «comprar el producto $B$». Los datos del enunciado son:

$P(A)=\mathrm{0,07},P(B)=\mathrm{0,10},P(A\cap \bar{B})=\mathrm{0,06}$

Para decidir la independencia hace falta la probabilidad de la intersección, que se obtiene descomponiendo $A$ según ocurra o no $B$: comprar $A$ es, o comprar los dos, o comprar $A$ y no $B$, y esos dos casos son incompatibles.

$A=(A\cap B)\cup (A\cap \bar{B})\Rightarrow P(A)=P(A\cap B)+P(A\cap \bar{B})$

$\mathrm{0,07}=P(A\cap B)+\mathrm{0,06}\Rightarrow P(A\cap B)=\mathrm{0,01}$

Con eso ya se puede repartir la probabilidad de las cuatro zonas del espacio muestral.

$P(\bar{A}\cap B)=P(B)-P(A\cap B)=\mathrm{0,10}-\mathrm{0,01}=\mathrm{0,09}$

$P(\bar{A}\cap \bar{B})=1-\mathrm{0,06}-\mathrm{0,01}-\mathrm{0,09}=\mathrm{0,84}$



Dos sucesos son independientes cuando la probabilidad de la intersección coincide con el producto de las probabilidades. Comparamos.

$P(A)\cdot P(B)=\mathrm{0,07}\cdot \mathrm{0,10}=\mathrm{0,007}$

$P(A\cap B)=\mathrm{0,01}\mathrm{\ne }\mathrm{0,007}=P(A)\cdot P(B)$

Los dos sucesos no son independientes. La intersección pesa más de lo que le tocaría por azar ($1\mathrm{\%}$ frente al $\mathrm{0,7}\mathrm{\%}$ esperado), así que comprar un producto hace algo más probable comprar el otro.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{sucesos}}\mathbf{\text{«comprar}}\mathit{A}\mathbf{\text{»}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{«comprar}}\mathit{B}\mathbf{\text{»}}\mathbf{\text{fuesen}}\mathbf{\text{independientes,}}\mathbf{\text{¿qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{mayor:}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{«no}}\mathbf{\text{comprar}}\mathit{A}\mathbf{\text{»,}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{«no}}\mathbf{\text{comprar}}\mathit{A}\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{sabiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{comprado}}\mathit{B}\mathbf{\text{»?}}\mathbf{\text{[5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Ahora se supone la independencia, que es lo contrario de lo que ocurría en el apartado a). La primera probabilidad es la del suceso contrario de $A$.

$P(\bar{A})=1-P(A)=1-\mathrm{0,07}=\mathrm{0,93}$

La segunda es una probabilidad condicionada. Si $A$ y $B$ son independientes, también lo son $\bar{A}$ y $B$, porque saber que ha ocurrido $B$ no cambia nada sobre $A$ ni, por tanto, sobre su contrario.

$P(\bar{A}\mathrm{/}B)={\displaystyle \frac{P(\bar{A}\cap B)}{P(B)}}={\displaystyle \frac{P(\bar{A})\cdot P(B)}{P(B)}}=P(\bar{A})=\mathrm{0,93}$

Ninguna de las dos sería mayor: bajo la hipótesis de independencia las dos probabilidades valen lo mismo, $\mathrm{0,93}$. Eso es precisamente lo que significa que dos sucesos sean independientes: la información de que se ha comprado $B$ no altera la probabilidad de no comprar $A$.