Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2023

Los ingresos, $I(t)$, y los gastos, $G(t)$, en euros, de una tienda de paquetería que está abierta desde las 9 hasta las 14 horas dependen de la hora del día, según las siguientes expresiones:

$I(t)=t^2+At,9\le t\le 14\text{y}G(t)=3At-(A^2+B),9\le t\le 14$

a) Calcule la función $B(t)$ que relaciona los beneficios obtenidos con la hora del día. [0,5 puntos]

b) Sabiendo que a las 12 horas se obtiene el beneficio mínimo de 150 euros, determine, justificando la respuesta, las constantes $A$ y $B$. [1,5 puntos]

El beneficio es la diferencia entre los ingresos y los gastos.

$B(t)=I(t)-G(t)=t^2+At-(3At-(A^2+B))$

$B(t)=t^2+At-3At+A^2+B$

$B(t)=t^2-2At+A^2+B,9\le t\le 14$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Sabiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{12}}\mathbf{\text{horas}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{obtiene}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{150}}\mathbf{\text{euros,}}\mathbf{\text{determine,}}\mathbf{\text{justificando}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{respuesta,}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{constantes}}\mathit{A}\mathbf{\text{y}}\mathit{B}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Que el mínimo se alcance en $t=12$ significa que la derivada se anula en ese punto; que el beneficio mínimo sea de 150 euros, que la función vale 150 allí. Son las dos condiciones que fijan las constantes.

$B^{\mathrm{\prime }}(t)=2t-2A$

$B^{\mathrm{\prime }}(12)=0\Rightarrow 24-2A=0\Rightarrow A=12$

Se comprueba que en ese punto hay realmente un mínimo, porque la segunda derivada es positiva.

$B^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t)=2>0$

Con $A=12$ se impone ahora que el beneficio en $t=12$ sea de 150 euros.

$B(12)={12}^2-2\cdot 12\cdot 12+{12}^2+B=144-288+144+B=B$

$B=150$

La función de beneficios queda entonces

$B(t)=t^2-24t+294=(t-12{)}^2+150$

que efectivamente alcanza su valor mínimo, 150 euros, a las 12 horas.

Las constantes buscadas son $A=12$ y $B=150$.