Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2022

El consumo eléctrico de una tienda $C(t)$ (en kilovatios) durante las 8 horas que permanece abierta depende del tiempo $t$ (en horas) desde que abrió según la función

$C(t)=10+6Bt+6A{t}^2+t^3,1\le t\le 8$

Determine, razonando la respuesta, las constantes $A$ y $B$ sabiendo que su consumo máximo se alcanza a las 6 horas y asciende a 10 kilovatios. [2 puntos]

El enunciado da dos condiciones sobre la función: que su derivada se anule a las 6 horas, porque allí hay un extremo, y que el consumo en ese instante sea de 10 kilovatios. Con ellas se plantea un sistema en $A$ y $B$.

$C^{\mathrm{\prime }}(t)=6B+12At+3t^2$

Primera condición, extremo en $t=6$:

$C^{\mathrm{\prime }}(6)=0\Rightarrow 6B+72A+108=0\Rightarrow B+12A=-18$

Segunda condición, el consumo en ese instante es de 10 kilovatios:

$C(6)=10+36B+216A+216=10\Rightarrow 36B+216A=-216\Rightarrow B+6A=-6$

Reunimos las dos condiciones en un sistema:

$\{\begin{array}{l}B+12A=-18\\ B+6A=-6\end{array}$

Restando la segunda ecuación de la primera se elimina $B$:

$6A=-12\Rightarrow A=-2\Rightarrow B=-6-6A=-6+12=6$

La función de consumo queda entonces

$C(t)=t^3-12t^2+36t+10$

y se comprueba que cumple las dos condiciones:

$C^{\mathrm{\prime }}(t)=3t^2-24t+36=3(t-2)(t-6)\Rightarrow C^{\mathrm{\prime }}(6)=0$

$C(6)=216-432+216+10=10$

Las constantes buscadas son $A=-2$ y $B=6$.

Conviene observar que con estos valores el punto $t=6$ no es un máximo sino un mínimo, pues $C^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t)=6t-24$ y $C^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(6)=12>0$; el consumo mayor del intervalo es de 42 kilovatios y se alcanza a las 2 y a las 8 horas. Las dos condiciones del enunciado determinan $A$ y $B$ sin ambigüedad, de modo que se ha resuelto con ellas.