Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2022

El beneficio, en miles de euros, que se obtiene en una pequeña finca familiar por la venta de aceitunas, en miles de kilogramos, viene dado por la siguiente función:

$B(x)=-\mathrm{0,02}{x}^2+\mathrm{1,3}x-15,x\ge 0$

a) Represente la función beneficio y calcule los puntos de corte con el eje $OX$. (0,75 puntos)

b) ¿Para qué valores de $x$ la finca no tiene pérdidas? (0,5 puntos)

c) ¿Para qué número de kilogramos el beneficio será máximo? ¿Cuánto vale dicho beneficio? (0,5 puntos)

d) ¿Cuántos kilogramos debe vender para obtener un beneficio de 5000 €? (0,75 puntos)

La función es una parábola con el coeficiente principal negativo, así que tiene las ramas hacia abajo. Buscamos sus cortes con el eje de abscisas.

$-\mathrm{0,02}{x}^2+\mathrm{1,3}x-15=0$

Multiplicamos toda la ecuación por $-50$ para quitar los decimales.

$x^2-65x+750=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{65\pm \sqrt{{65}^2-4\cdot 750}}{2}}={\displaystyle \frac{65\pm \sqrt{4225-3000}}{2}}={\displaystyle \frac{65\pm 35}{2}}$

$\{\begin{array}{l}x=15\\ x=50\end{array}$

Los cortes con el eje $OX$ son $(15,0)$ y $(50,0)$. El vértice está en la semisuma de las raíces:

$x_V={\displaystyle \frac{15+50}{2}}=\mathrm{32,5}B(\mathrm{32,5})=-\mathrm{0,02}\cdot 1\mathrm{056,25}+\mathrm{42,25}-15=\mathrm{6,125}$

Además $B(0)=-15$, que es el corte con el eje $OY$.



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Para}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathit{x}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{finca}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{p}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rdidas?}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

No tener pérdidas significa que el beneficio no sea negativo, es decir, $B(x)\ge 0$. Como la parábola tiene las ramas hacia abajo, es positiva entre sus dos raíces.

$B(x)\ge 0\iff 15\le x\le 50$

La finca no tiene pérdidas cuando vende entre $15000$ y $50000$ kilogramos de aceitunas.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{¿Para}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{kilogramos}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo?}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nto}}\mathbf{\text{vale}}\mathbf{\text{dicho}}\mathbf{\text{beneficio?}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

El máximo de una parábola con las ramas hacia abajo está en su vértice, que también se obtiene anulando la derivada.

$B^{\mathrm{\prime }}(x)=-\mathrm{0,04}x+\mathrm{1,3}$

$B^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow -\mathrm{0,04}x+\mathrm{1,3}=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{\mathrm{1,3}}{\mathrm{0,04}}}=\mathrm{32,5}$

$B^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-\mathrm{0,04}<0$

La segunda derivada es negativa, luego se trata de un máximo.

$B(\mathrm{32,5})=\mathrm{6,125}$

El beneficio es máximo vendiendo $32500$ kilogramos de aceitunas, y asciende a $6125$ euros.

$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{kilogramos}}\mathbf{\text{debe}}\mathbf{\text{vender}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{obtener}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{5000}}\mathbf{\text{€?}}\mathbf{\text{(0,75}}\mathbf{\text{puntos)}}$

El beneficio viene en miles de euros, así que $5000$ € son $5$ unidades.

$-\mathrm{0,02}{x}^2+\mathrm{1,3}x-15=5\Rightarrow -\mathrm{0,02}{x}^2+\mathrm{1,3}x-20=0$

Multiplicamos por $-50$.

$x^2-65x+1000=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{65\pm \sqrt{4225-4000}}{2}}={\displaystyle \frac{65\pm 15}{2}}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=25\\ x=40\end{array}$

Las dos soluciones son válidas, pues ambas están en el intervalo en el que la finca no tiene pérdidas.

Para obtener un beneficio de 5 000 € debe vender $25000$ kilogramos o bien $40000$ kilogramos de aceitunas.