Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2022

En una empresa el coste total, en euros, de producir $q$ unidades viene dado por

$C(q)=300q-10q^2+{\displaystyle \frac{q^3}{3}}$

a) Calcule la función coste marginal $(C_m(q)=C^{\mathrm{\prime }}(q))$. ¿A partir de qué unidad el coste marginal aumenta al aumentar la producción? (3 puntos)

b) Determine el nivel de producción para el que se minimiza el coste medio $CM(q)={\displaystyle \frac{C(q)}{q}}$. (3 puntos)

c) Si el precio de venta unitario, en euros, del artículo en el mercado es $P(q)=240-2q$, determine para qué nivel de producción se maximiza el beneficio (ingresos menos costes). (4 puntos)

El coste marginal es la derivada de la función de coste total.

$C(q)=300q-10q^2+{\displaystyle \frac{q^3}{3}}\Rightarrow C_m(q)=C^{\mathrm{\prime }}(q)=300-20q+q^2$

Preguntar a partir de qué unidad el coste marginal aumenta es preguntar dónde empieza a crecer la función $C_m$, así que se deriva a su vez y se estudia el signo.

$C_m^{\mathrm{\prime }}(q)=-20+2q$

$C_m^{\mathrm{\prime }}(q)=0\Rightarrow 2q=20\Rightarrow q=10$

$\{\begin{array}{l}\text{Si }q=5,C_m^{\mathrm{\prime }}(5)=-20+10=-10<0\\ \text{Si }q=15,C_m^{\mathrm{\prime }}(15)=-20+30=10>0\end{array}$



El coste marginal decrece hasta $q=10$ y crece a partir de ahí.

La función coste marginal es $C_m(q)=q^2-20q+300$ y aumenta al aumentar la producción a partir de la unidad $q=10$.



Se plantea la función coste medio y se simplifica antes de derivar.

$CM(q)={\displaystyle \frac{300q-10q^2+{\displaystyle \frac{q^3}{3}}}{q}}=300-10q+{\displaystyle \frac{q^2}{3}}$

Se deriva y se iguala a cero en busca de los puntos críticos.

$C{M}^{\mathrm{\prime }}(q)=-10+{\displaystyle \frac{2q}{3}}$

$C{M}^{\mathrm{\prime }}(q)=0\Rightarrow {\displaystyle \frac{2q}{3}}=10\Rightarrow q=15$

Se comprueba con la segunda derivada que se trata de un mínimo.

$C{M}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(q)={\displaystyle \frac{2}{3}}>0$



Se calcula el coste medio en ese punto:

$CM(15)=300-150+{\displaystyle \frac{225}{3}}=300-150+75=225$

El coste medio se minimiza produciendo $15$ unidades, y ese coste medio mínimo es de $225\text{ €}$ por unidad.



El ingreso es el precio unitario por el número de unidades vendidas, y el beneficio es la diferencia entre ingreso y coste.

$I(q)=P(q)\cdot q=(240-2q)q=240q-2q^2$

$B(q)=I(q)-C(q)=240q-2q^2-(300q-10q^2+{\displaystyle \frac{q^3}{3}})$

$B(q)=-{\displaystyle \frac{q^3}{3}}+8q^2-60q$

Se deriva la función beneficio y se iguala a cero en busca de los puntos críticos.

$B^{\mathrm{\prime }}(q)=-q^2+16q-60$

$B^{\mathrm{\prime }}(q)=0\Rightarrow q^2-16q+60=0\Rightarrow q={\displaystyle \frac{16\pm \sqrt{256-240}}{2}}={\displaystyle \frac{16\pm 4}{2}}$

$\{\begin{array}{l}q=6\\ q=10\end{array}$

Se caracterizan los dos puntos críticos con la segunda derivada.

$B^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(q)=-2q+16$

$\{\begin{array}{l}{B}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(6)=-12+16=4>0\Rightarrow \text{m}\acute{\text{ı}}\text{nimo relativo}\\ B^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(10)=-20+16=-4<0\Rightarrow \text{m}\acute{\text{a}}\text{ximo relativo}\end{array}$



El beneficio se maximiza con un nivel de producción de $q=10$ unidades. Conviene señalar que en ese punto

$B(10)=-{\displaystyle \frac{1000}{3}}+800-600=-{\displaystyle \frac{400}{3}}\approx -\mathrm{133,33}$

sigue siendo negativo: con esta estructura de costes y este precio de mercado la empresa no llega a obtener beneficios, y $q=10$ es simplemente el nivel de producción en el que las pérdidas son menores.