Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2023

a) Un hospital ha determinado que el número de pacientes que hay en urgencias a lo largo de un turno de 36 horas viene dado por la función $P(t)$, donde $t\in [0,36]$ se expresa en horas. Se sabe que $P^{\mathrm{\prime }}(t)=t^2-40t+231$ es la derivada de $P(t)$ y que al finalizar el turno quedan en urgencias 448 pacientes. ¿En qué momento del turno hay menos pacientes en urgencias? ¿Cuántos pacientes hay en ese momento? [1,25 puntos]

b) En una panadería el coste de producción de una hogaza es de 2 €, y el precio de venta de $x$ hogazas, en €, viene dado por la función $P(x)=x(122-x)$. Además, esta panadería tiene unos gastos fijos mensuales de 500 €. Suponiendo que todas las hogazas que se producen se venden, ¿cuántas hogazas debería producir la panadería al mes para maximizar sus ganancias mensuales? ¿A cuánto ascenderían esas ganancias? [1,25 puntos]

Se busca el mínimo absoluto de $P$ en el intervalo cerrado $[0,36]$, así que hay que comparar los puntos críticos con los extremos del intervalo. Los puntos críticos son las raíces de la derivada.

$P^{\mathrm{\prime }}(t)=0\Rightarrow t^2-40t+231=0\Rightarrow t={\displaystyle \frac{40\pm \sqrt{1600-924}}{2}}={\displaystyle \frac{40\pm 26}{2}}$

$\{\begin{array}{l}t=33\\ t=7\end{array}$

Se estudia el signo de $P^{\mathrm{\prime }}$ en los tres tramos que quedan dentro del turno.

$P^{\mathrm{\prime }}(0)=231>0,P^{\mathrm{\prime }}(20)=400-800+231=-169<0,P^{\mathrm{\prime }}(36)=1296-1440+231=87>0$



La función crece hasta $t=7$, decrece entre $t=7$ y $t=33$ y vuelve a crecer hasta el final del turno: hay un máximo relativo en $t=7$ y un mínimo relativo en $t=33$.

Para dar el número de pacientes hace falta $P(t)$, que se obtiene integrando la derivada.

$P(t)=\int (t^2-40t+231)dt={\displaystyle \frac{t^3}{3}}-20t^2+231t+C$

La constante se determina con el dato del final del turno, $P(36)=448$.

${\displaystyle \frac{{36}^3}{3}}-20\cdot {36}^2+231\cdot 36+C=448$

$15552-25920+8316+C=448\Rightarrow -2052+C=448\Rightarrow C=2500$

$P(t)={\displaystyle \frac{t^3}{3}}-20t^2+231t+2500$

Se comparan el mínimo relativo y el extremo izquierdo del intervalo, que son los dos únicos candidatos a mínimo absoluto.

$P(0)=2500$

$P(33)={\displaystyle \frac{35937}{3}}-20\cdot 1089+231\cdot 33+2500=11979-21780+7623+2500=322$

El momento de menos pacientes es la hora 33 del turno, y en ese momento hay 322 pacientes en urgencias.



La ganancia es la diferencia entre lo que se ingresa por la venta y lo que cuesta producir, incluidos los gastos fijos.

$B(x)=x(122-x)-2x-500$

$B(x)=122x-x^2-2x-500=-x^2+120x-500$

Se deriva y se anula la derivada para localizar el máximo.

$B^{\mathrm{\prime }}(x)=-2x+120$

$B^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow -2x+120=0\Rightarrow x=60$

Se comprueba con la segunda derivada que se trata de un máximo.

$B^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-2<0\Rightarrow \text{m}\acute{\text{a}}\text{ximo}$

$B(60)=-3600+7200-500=3100$

La panadería debería producir 60 hogazas al mes, con las que obtendría una ganancia máxima de 3100 euros.