Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2023

a) Una frutería ha conseguido determinar que el peso total de la fruta que guarda en el almacén, expresado en kilogramos, viene dado por la función $P(t)=30t^2-240t+3000$, donde $t\in [0,6]$ representa las horas transcurridas desde el momento de la apertura. ¿En qué momento hay menos fruta en el almacén? ¿Cuántos kilogramos hay en ese momento? [1,25 puntos]

b) En una sastrería familiar, el coste total que supone producir $x$ pantalones, en €, viene dado por la función $C(x)=120x+700$. Por otro lado, el precio de venta de esos $x$ pantalones, en €, viene dado por la función $P(x)=x(200-x)$. Suponiendo que todos los pantalones que se producen se venden, ¿cuántos pantalones habría que producir para que el beneficio obtenido sea máximo? [1,25 puntos]

La función es una parábola de ramas hacia arriba, porque su coeficiente principal es positivo, de modo que su vértice es el mínimo absoluto. Se localiza derivando e igualando a cero.

$P^{\mathrm{\prime }}(t)=60t-240$

$P^{\mathrm{\prime }}(t)=0\Rightarrow 60t=240\Rightarrow t=4$

Se comprueba con la segunda derivada que se trata de un mínimo.

$P^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t)=60>0\Rightarrow \text{m}\acute{\text{ı}}\text{nimo}$

El valor $t=4$ pertenece al intervalo $[0,6]$, así que es el mínimo absoluto en él; los extremos del intervalo dan valores mayores, $P(0)=3000$ y $P(6)=2640$.

$P(4)=30\cdot 4^2-240\cdot 4+3000=480-960+3000=2520$

La menor cantidad de fruta se alcanza 4 horas después de la apertura, y en ese momento hay 2520 kg en el almacén.



El beneficio es la diferencia entre el precio de venta y el coste total.

$B(x)=P(x)-C(x)=x(200-x)-(120x+700)$

$B(x)=200x-x^2-120x-700=-x^2+80x-700$

Se deriva y se anula la derivada para localizar el máximo.

$B^{\mathrm{\prime }}(x)=-2x+80$

$B^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow -2x+80=0\Rightarrow x=40$

Se comprueba con la segunda derivada.

$B^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-2<0\Rightarrow \text{m}\acute{\text{a}}\text{ximo}$

$B(40)=-1600+3200-700=900$

Habría que producir 40 pantalones, con los que el beneficio sería máximo e igual a 900 euros.