Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2022

Un autónomo del sector del transporte ha determinado que los costes mensuales de su empresa responden a una función $C(v)$, donde $v$ representa el número de vehículos movilizados. Se sabe que la empresa dispone de un total de 36 vehículos y que los costes ascienden a 5000 € si no se moviliza ningún vehículo. Se sabe, además, que $C^{\mathrm{\prime }}(v)=v^2-32v+112$ es la derivada de $C(v)$. [2,5 puntos]

a) ¿Cuántos vehículos han de movilizarse para minimizar costes? ¿A cuánto ascenderían dichos costes? [1,25 puntos]

b) ¿Para qué número de vehículos movilizados serían máximos los costes? ¿A cuánto ascenderían dichos costes? [1,25 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{veh}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{culos}}\mathbf{\text{han}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{movilizarse}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{minimizar}}\mathbf{\text{costes?}}\mathbf{\text{¿A}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nto}}\mathbf{\text{ascender}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{an}}\mathbf{\text{dichos}}\mathbf{\text{costes?}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Los puntos donde los costes pueden ser máximos o mínimos son las raíces de la derivada, así que se empieza anulándola.

$C^{\mathrm{\prime }}(v)=0\Rightarrow v^2-32v+112=0\Rightarrow v={\displaystyle \frac{32\pm \sqrt{1024-448}}{2}}={\displaystyle \frac{32\pm 24}{2}}$

$\{\begin{array}{l}v=28\\ v=4\end{array}$

Los dos pertenecen al intervalo $[0,36]$ que impone el número de vehículos de la empresa. Se estudia el signo de la derivada en los tres tramos.

$C^{\mathrm{\prime }}(0)=112>0,C^{\mathrm{\prime }}(16)=256-512+112=-144<0,C^{\mathrm{\prime }}(36)=1296-1152+112=256>0$



Los costes crecen hasta $v=4$, decrecen entre $v=4$ y $v=28$ y vuelven a crecer: hay un máximo relativo en $v=4$ y un mínimo relativo en $v=28$.

Para dar el importe hace falta $C(v)$, que se obtiene integrando la derivada.

$C(v)=\int (v^2-32v+112)dv={\displaystyle \frac{v^3}{3}}-16v^2+112v+K$

La constante se determina con el dato de que los costes son 5000 € si no se moviliza ningún vehículo.

$C(0)=K=5000\Rightarrow C(v)={\displaystyle \frac{v^3}{3}}-16v^2+112v+5000$

Los dos candidatos a mínimo absoluto son el mínimo relativo y el extremo izquierdo del intervalo.

$C(0)=5000$

$C(28)={\displaystyle \frac{21952}{3}}-16\cdot 784+112\cdot 28+5000={\displaystyle \frac{21952}{3}}-4408={\displaystyle \frac{8728}{3}}\approx \mathrm{2909,33}$

Han de movilizarse 28 vehículos, con los que los costes mensuales serían de ${\displaystyle \frac{8728}{3}}\approx \mathrm{2909,33}$ euros.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Para}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{veh}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{culos}}\mathbf{\text{movilizados}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{an}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximos}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{costes?}}\mathbf{\text{¿A}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nto}}\mathbf{\text{ascender}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{an}}\mathbf{\text{dichos}}\mathbf{\text{costes?}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Ahora los candidatos son el máximo relativo, $v=4$, y el extremo derecho del intervalo, $v=36$.

$C(4)={\displaystyle \frac{64}{3}}-16\cdot 16+112\cdot 4+5000={\displaystyle \frac{64}{3}}+5192={\displaystyle \frac{15640}{3}}\approx \mathrm{5213,33}$

$C(36)={\displaystyle \frac{46656}{3}}-16\cdot 1296+112\cdot 36+5000=15552-20736+4032+5000=3848$

Como ${\displaystyle \frac{15640}{3}}>3848$, el máximo absoluto está en $v=4$.

Los costes serían máximos movilizando 4 vehículos, y ascenderían a ${\displaystyle \frac{15640}{3}}\approx \mathrm{5213,33}$ euros.