Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2020

El coste unitario de fabricación de un producto (en euros) depende del tamaño de la producción a través de la siguiente fórmula:

$C(x)={\displaystyle \frac{1}{10}}(x^2-16x+100)$

donde $x\in [2,15]$ es el tamaño de la producción (en miles de unidades) y $C$ es el coste unitario (en euros). Calcular:

a) Si se producen 5000 unidades, ¿cuánto vale el coste unitario? (1 punto)

b) ¿Para qué valores del tamaño de la producción $x\in [2,15]$ el coste unitario es inferior a 4 euros? (4 puntos)

c) ¿Para qué tamaño de la producción $x\in [2,15]$ se alcanza el coste unitario mínimo? ¿Y el máximo? ¿Cuánto valen estos costes? (5 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{producen}}\mathbf{\text{5000}}\mathbf{\text{unidades,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nto}}\mathbf{\text{vale}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{coste}}\mathbf{\text{unitario?}}(1\text{ punto})$

El tamaño de la producción viene dado en miles de unidades, así que 5000 unidades corresponden a $x=5$.

$C(5)={\displaystyle \frac{1}{10}}(5^2-16\cdot 5+100)={\displaystyle \frac{1}{10}}(25-80+100)={\displaystyle \frac{45}{10}}$

$C(5)=\mathrm{4,5}$

Si se producen 5000 unidades, el coste unitario es de $\mathrm{4,5}\text{ €}$.



Se plantea la inecuación $C(x)<4$.

${\displaystyle \frac{1}{10}}(x^2-16x+100)<4\Rightarrow x^2-16x+100<40\Rightarrow x^2-16x+60<0$

Se buscan las raíces del polinomio.

$x={\displaystyle \frac{16\pm \sqrt{256-240}}{2}}={\displaystyle \frac{16\pm \sqrt{16}}{2}}={\displaystyle \frac{16\pm 4}{2}}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=6\\ x=10\end{array}$

Se hace un estudio de signos. Como es una parábola con las ramas hacia arriba, es negativa entre sus dos raíces.

$\{\begin{array}{l}\text{Si }x=3,9-48+60=21>0\\ \text{Si }x=8,64-128+60=-4<0\\ \text{Si }x=12,144-192+60=12>0\end{array}$

$\begin{array}{cccc}& [2,6)& (6,10)& (10,15]\\ x^2-16x+60& +& -& +\end{array}$

La solución de la inecuación es $6<x<10$, intervalo que está contenido en $[2,15]$.

El coste unitario es inferior a 4 euros cuando el tamaño de la producción está entre 6.000 y 10.000 unidades, es decir, para $x\in (6,10)$.



Se deriva la función y se iguala a cero en busca de los puntos críticos.

$C(x)={\displaystyle \frac{1}{10}}(x^2-16x+100)\Rightarrow C^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1}{10}}(2x-16)={\displaystyle \frac{x-8}{5}}$

$C^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow x=8$

Se comprueba con la segunda derivada que se trata de un mínimo.

$C^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1}{5}}>0$



La función decrece en $[2,8)$ y crece en $(8,15]$, de modo que en $x=8$ hay un mínimo, que por ser el único punto crítico del intervalo es el mínimo absoluto.

$C(8)={\displaystyle \frac{1}{10}}(64-128+100)={\displaystyle \frac{36}{10}}=\mathrm{3,6}$

El máximo absoluto de una función continua en un intervalo cerrado que no tiene máximos relativos se encuentra en uno de los extremos del intervalo. Se valora la función en ambos:

$C(2)={\displaystyle \frac{1}{10}}(4-32+100)={\displaystyle \frac{72}{10}}=\mathrm{7,2}$

$C(15)={\displaystyle \frac{1}{10}}(225-240+100)={\displaystyle \frac{85}{10}}=\mathrm{8,5}$

Como $\mathrm{8,5}>\mathrm{7,2}$, el máximo se alcanza en $x=15$.

El coste unitario mínimo se alcanza produciendo 8.000 unidades y vale $\mathrm{3,6}\text{ €}$; el coste unitario máximo se alcanza produciendo 15.000 unidades y vale $\mathrm{8,5}\text{ €}$.